Ис­то­рия гид­ро­ди­на­ми­ки

Не­по­знан­ная тур­бу­лент­ность

Од­на­ко вско­ре вы­яс­ни­лось, что в по­дав­ляю­щем боль­шин­стве ре­аль­ных слу­ча­ев ла­ми­нар­ное те­че­ние сла­бо­вяз­кой жид­ко­сти ста­но­вит­ся не­устой­чи­вым и ра­но или позд­но пе­ре­хо­дит в тур­бу­лент­ное [3]:

Турбуле́нтность [...] — яв­ле­ние, за­клю­чаю­щее­ся в том, что при пре­вы­ше­нии не­ко­то­ро­го кри­ти­че­ско­го чис­ла Рей­нольд­са и/или Ре­лея (в част­ном слу­чае при пре­вы­ше­нии ско­ро­сти по­то­ка при по­сто­ян­ной плот­но­сти и диа­мет­ре тру­бы и/или тем­пе­ра­ту­ры на внеш­ней гра­ни­це сре­ды) са­мо­про­из­воль­но об­ра­зу­ют­ся мно­го­чис­лен­ные не­ли­ней­ные фрак­таль­ные вол­ны и обыч­ные, ли­ней­ные раз­лич­ных раз­ме­ров, без на­ли­чия внеш­них, слу­чай­ных, воз­му­щаю­щих сре­ду сил и/или при их при­сут­ствии.

Об­щий кри­те­рий воз­ник­но­ве­ния тур­бу­лент­но­сти уста­нов­лен Осбор­ном Рей­нольд­сом (1842–​1912) в 1883 го­ду. Он под­кра­ши­вал ла­ми­нар­ную струй­ку то­ка во вход­ной ча­сти стек­лян­ной труб­ки и сле­дил, ко­гда те­че­ние ста­нет тур­бу­лент­ным, фик­си­руя при этом кри­ти­че­ское зна­че­ние без­раз­мер­но­го опре­де­ляю­ще­го па­ра­мет­ра, на­зван­но­го впо­след­ствии в его честь чис­лом Рей­нольд­са. В Ман­че­с­тер­ском уни­вер­си­те­те, где Рей­нольдс про­во­дил свои опы­ты, со­хра­ни­лась его экс­пе­ри­мен­таль­ная уста­нов­ка.

По­рож­де­ние тур­бу­лент­но­сти ре­шет­кой

Ри­су­нок 1. По­рож­де­ние тур­бу­лент­но­сти ре­шет­кой. Ис­точ­ник

Пред­ста­вив ско­рость u_i в ви­де сум­мы сред­ней \bar u_i и пуль­са­ци­он­ной u_i^\prime со­став­ляю­щих, а дав­ле­ние в ви­де p=\bar p+p^\prime, Рей­нольдс по­лу­чил урав­не­ния для сред­них ве­ли­чин, но­ся­щие его имя:

\rho\frac{\partial\bar{u}_j\bar{u}_i}{\partial x_j} = \frac{\partial}{\partial x_j} 
\left[-\bar{p}\delta_{ij}+\mu\left(\frac{\partial\bar{u}_i}{\partial x_j}+\frac{\partial\bar{u}_j}{\partial x_i}\right)-
\rho\overline{u_i^\prime u_j^\prime}\right].
(7)

Здесь под­ра­зу­ме­ва­ет­ся сум­ми­ро­ва­ние по ин­дек­су j. По срав­не­нию с урав­не­ни­ем На­вье–​Сток­са (6) это урав­не­ние вклю­ча­ет до­пол­ни­тель­ные на­пря­же­ния — так на­зы­вае­мые на­пря­же­ния Рей­нольд­са \rho\overline{u_i^\prime u_j^\prime}. По­пыт­ки най­ти их вид из пер­вых прин­ци­пов фи­зи­ки ока­за­лись безуспеш­ны­ми, по­это­му урав­не­ние (7) ста­ло ба­зой для раз­ви­тия эм­пи­ри­че­ских тео­рий.

К не­до­опре­де­лен­ной си­сте­ме (7) сле­ду­ет до­ба­вить урав­не­ния для пуль­са­ций и пра­ви­ла осред­не­ния. По­лу­чен­ную та­ким об­ра­зом рас­ши­рен­ную си­сте­му урав­не­ний сле­ду­ет на­зы­вать си­сте­мой Рей­нольд­са. Ре­ше­ние этой си­сте­мы кро­ме сред­не­го и пуль­са­ци­он­но­го сла­га­е­мо­го со­дер­жит еще вол­но­вой член.

Л.В. Кел­лер и А.А. Фрид­ман да­ли ана­ли­ти­че­скую фор­му­ли­ров­ку про­бле­мы тур­бу­лент­но­сти, све­дя за­да­чу к бес­ко­неч­ной си­сте­ме урав­не­ний для ста­ти­сти­че­ских мо­мен­тов. Джеф­ф­ри Тей­лор ввёл в рас­смот­ре­ние кор­ре­ля­ци­он­ные функ­ции, а так­же впер­вые ввёл по­ня­тия об од­но­род­ной и изо­троп­ной тур­бу­лент­но­сти.

Лью­ис Фри Ричард­сон (1881–​1953) вы­ска­зал глу­бо­кие со­об­ра­же­ния о «кас­кад­ном про­цес­се» пе­ре­да­чи энер­гии по спек­тру от круп­но­мас­штаб­ных мод к мел­ко­мас­штаб­ным. Эта кар­ти­на раз­ви­той тур­бу­лент­но­сти изоб­ра­же­на Ричард­со­ном в сти­хо­тво­ре­нии, ко­то­рое вхо­дит во мно­гие учеб­ни­ки по тур­бу­лент­но­сти:

Big whorls have little whorls,
Which feed on their velocity;
Little whorls have smaller whorls,
And so on unto viscosity.

Ричард­сон лю­бил по­э­зию. Свою ин­ту­и­тив­ную тео­рию тур­бу­лент­но­сти он со­здал, вдох­нов­лён­ный наблю­де­ни­я­ми за эво­лю­ци­ей об­ла­ков.

Па­ра­диг­ма тур­бу­лент­но­сти озна­ме­но­ва­ла пре­вра­ще­ние гид­ро­ди­на­ми­ки из чи­сто тео­ре­ти­че­ской на­у­ки, из кол­лек­ции ори­ги­наль­ных, но ото­рван­ных от жиз­ни ре­ше­ний, в при­клад­ную на­у­ку. Раз­лив­шая­ся ре­ка стре­ми­лась вой­ти в бе­ре­га ак­ту­аль­ной по­лез­но­сти.

Осборн Рей­нольдс

Осборн Рей­нольдс (Osborne Reynolds; 1842–​1912), ан­глий­ский ин­же­нер и фи­зик. Ро­дил­ся в Бел­фа­сте в се­мье свя­щен­но­слу­жи­те­ля. С 18 лет ра­бо­тал в ме­ха­ни­че­ской ма­стер­ской, по­сту­пил в Кем­бридж­ский уни­вер­си­тет, где изу­чал ма­те­ма­ти­ку и ме­ха­ни­ку. Окон­чил уни­вер­си­тет в 1867 г. В 1868–​1905 гг. — про­фес­сор ка­фед­ры стро­и­тель­ной ме­ха­ни­ки Ман­че­с­тер­ско­го уни­вер­си­те­та. С 1888 г. воз­глав­лял Ви­твор­тов­скую ин­же­нер­ную ла­бо­ра­то­рию. Ра­бо­ты Рей­нольд­са по­свя­ще­ны ме­ха­ни­ке, гид­ро­ди­на­ми­ке, теп­ло­те, элек­три­че­ству, маг­не­тиз­му. В 1883 г. Рей­нольдс уста­но­вил, что ла­ми­нар­ное те­че­ние пе­ре­хо­дит в тур­бу­лент­ное, ко­гда вве­ден­ная им без­раз­мер­ная ве­ли­чи­на (чис­ло Рей­нольд­са) пре­вы­ша­ет кри­ти­че­ское зна­че­ние. Чис­ло Рей­нольд­са ши­ро­ко ис­поль­зу­ет­ся при ре­ше­нии за­дач гид­ро- и аэро­ди­на­ми­ки в слу­чае ма­лых и сред­них до­зву­ко­вых ско­ро­стей. По­дроб­нее

Наи­бо­лее важ­ным вкла­дом в тео­рию тур­бу­лент­но­сти счи­та­ют­ся 4 ра­бо­ты Ан­дрея Ни­ко­ла­е­ви­ча Кол­мо­го­ро­ва (1903–​1987), впер­вые опуб­ли­ко­ван­ные в 1941 го­ду. В со­во­куп­но­сти они так и на­зы­ва­ют­ся — «тео­рия К 41». Кол­мо­го­ров за­ни­мал­ся тур­бу­лент­но­стью при­мер­но пол­го­да, до на­ча­ла вой­ны, а за­тем, в свя­зи с тре­бо­ва­ни­я­ми воен­но­го вре­ме­ни, за­нял­ся бал­ли­сти­кой. Ещё 2 ра­бо­ты Кол­мо­го­ро­ва от­но­сят­ся к 1961–​1962 го­дам и на­зы­ва­ют­ся «тео­рия К 62».

Бы­ли ли пред­ше­ствен­ни­ки у Рей­нольд­са? Ра­зу­ме­ет­ся, каж­дый че­ло­век ви­дел тур­бу­лент­ность в ат­мо­сфе­ре, в ру­чье, в струе во­ды. Ха­ген ещё в 1839 го­ду уста­но­вил, что ха­рак­тер те­че­ния во­ды в тру­бе из­ме­ня­ет­ся с уве­ли­че­ни­ем на­по­ра. Он счи­тал, что при опре­де­лён­ных усло­ви­ях в по­то­ке воз­ни­ка­ют внут­рен­ние вих­ри, и это при­во­дит к по­вы­ше­нию со­про­тив­ле­ния, и, сле­до­ва­тель­но, к умень­ше­нию рас­хо­да во­ды.

Мас­сив­ным бло­ком в ос­но­ва­нии тео­рии тур­бу­лент­но­сти ле­жит тео­рия ве­ро­ят­но­стей, пре­крас­ные ис­то­ри­че­ские об­зо­ры ко­то­рой да­ны Ши­ряе­вым (1998) и Гне­ден­ко (2001). В тео­рии тур­бу­лент­но­сти есть тео­рия устой­чи­во­сти и пе­ре­хо­да ла­ми­нар­но­го те­че­ния в тур­бу­лент­ное. Рэ­лею в 1880 го­ду, В. Ор­ру и А. Зо­ммер­фель­ду в 1907–​1908 го­дах уда­лось ли­не­а­ри­зо­вать за­да­чу устой­чи­во­сти в част­ном слу­чае пло­ско­па­рал­лель­но­го дви­же­ния. Боль­шое зна­че­ние име­ет тео­рия устой­чи­во­сти по­гра­нич­но­го слоя и ла­ми­нар­но-​тур­бу­лент­но­го пе­ре­хо­да в по­гра­нич­ном слое (Бэт­че­лор, 2000). Сле­ду­ет упо­мя­нуть да­ле­ко про­дви­ну­тую тео­рию изо­троп­ной тур­бу­лент­но­сти (Бэт­че­лор, 1955).

В XIX ве­ке ос­нов­ной гид­ро­ди­на­ми­че­ской мо­де­лью яв­ля­лась мо­дель иде­аль­ной жид­ко­сти, в XIX–​XX ве­ках — мо­дель вяз­кой жид­ко­сти. В XXI ве­ке учё­ные ста­ли вплот­ную за­ни­мать­ся по­строе­ни­ем фи­зи­че­ских и ма­те­ма­ти­че­ских мо­де­лей тур­бу­лент­но­сти. Сле­ду­ет от­ме­тить, что па­ра­диг­ма тур­бу­лент­но­сти в гид­ро­ди­на­ми­ке еще не сфор­му­ли­ро­ва­на, по­ка вид­ны толь­ко её кон­ту­ры... По­строе­ны ма­те­ма­ти­че­ские мо­де­ли слу­чай­ных про­цес­сов в тео­рии бро­унов­ско­го дви­же­ния и в кван­то­вой ме­ха­ни­ке. Од­на­ко по­стро­ить адек­ват­ную мо­дель ис­то­рии че­ло­ве­че­ства, мак­ро­эко­но­ми­ки и тур­бу­лент­но­сти по­ка не уда­лось.

Не­воз­мож­но про­ве­сти чёт­кую гра­ни­цу меж­ду гид­ро­ди­на­ми­кой и не­ли­ней­ной ме­ха­ни­кой. И там, и там важ­на не­ли­ней­ность. Ак­ту­аль­но как изу­че­ние гид­ро­ди­на­ми­че­ских урав­не­ний (Бус­си­неска, Кор­те­ве­га–​де Ври­за и про­чих), так и ре­ше­ние урав­не­ний не­ли­ней­ной ме­ха­ни­ки (Шрё­дин­ге­ра, Гин­збур­га–​Лан­дау, Си­нус–​Гор­до­на и про­чих), ко­то­рые на­хо­дят важ­ные при­ме­не­ния в гид­ро­ди­на­ми­ке.

Вы­даю­щий­ся фи­зик Вер­нер Гей­зен­берг (1901–​1976), се­рьёз­но за­ни­мав­ший­ся про­бле­мой тур­бу­лент­но­сти, при­знал­ся на смерт­ном од­ре, что хо­тел бы за­дать Гос­по­ду два во­про­са — об ос­но­вах тео­рии от­но­си­тель­но­сти и о при­чи­не тур­бу­лент­но­сти. «Ду­маю, что Гос­подь от­ве­тит мне на пер­вый из них», — га­лант­но за­клю­чил он.

Чис­лен­ное мо­де­ли­ро­ва­ние гид­ро­ди­на­ми­че­ских про­цес­сов

Услож­не­ние ма­те­ма­ти­че­ских мо­де­лей при­ве­ло к то­му, что че­ло­век пе­ре­стал справ­лять­ся с рас­че­та­ми. От­ве­том на это яви­лось со­зда­ние ком­пью­те­ра. В то вре­мя ка­за­лось, что все за­да­чи бу­дут не­мед­лен­но ре­ше­ны, что вос­тор­же­ство­вал прин­цип пи­фа­го­рей­цев: «Всё есть чис­ло». Од­на­ко ко­нец эм­пи­ри­че­ской эпо­хи в на­у­ке и тех­ни­ке не на­сту­пил, ото­дви­нув­шись на сле­дую­щее сто­ле­тие. Со­вре­мен­ный ком­пью­тер поз­во­ля­ет ре­шать слож­ные за­да­чи гид­ро­ди­на­ми­ки, фи­зи­ки плаз­мы, ана­ли­за за­гряз­не­ния воз­ду­ха и грун­то­вых вод, со­зда­ния но­вых ле­карств, со­став­ле­ния карт озо­но­во­го слоя, сей­сми­че­ско­го ана­ли­за. Чис­лен­ные рас­чё­ты вос­тре­бо­ва­ны как в фун­да­мен­таль­ных на­у­ках, так и в при­клад­ных.

Для учё­ных и ин­же­не­ров чис­лен­ный рас­чёт стал обы­ден­ным и мощ­ным ору­жи­ем на­ступ­ле­ния на не­по­знан­ное. Чис­лен­ные рас­чё­ты прак­ти­че­ски вы­тес­ни­ли из упо­треб­ле­ния та­кие эм­пи­ри­че­ские ме­то­ды, как при­бли­же­ния Буб­но­ва–​Га­лёр­ки­на в тео­рии по­гра­нич­но­го слоя, ме­то­ды ти­па Бет­ца–​Мульт­хо­па в тео­рии кры­ла боль­шо­го удли­не­ния, по­лу­эм­пи­ри­че­ские ме­то­ды в тео­рии тур­бу­лент­но­сти и так да­лее. В на­сто­я­щее вре­мя раз­ра­бо­та­ны на­дёж­ные ме­то­ды рас­чё­та ла­ми­нар­ных те­че­ний, од­на­ко безэм­пи­ри­че­ский рас­чёт тур­бу­лент­ных те­че­ний по­ка ещё не­воз­мо­жен. Вы­чис­ли­тель­ная гид­ро­ди­на­ми­ка — ос­нов­ная часть вы­чис­ли­тель­ной ма­те­ма­ти­ки, ибо в ней, как ни в од­ной об­ла­сти фи­зи­ки, за­дей­ство­ва­на не­ли­ней­ность и, как след­ствие, тур­бу­лент­ность.

Ком­пью­тер­ная мо­дель жид­ко­сти пред­став­ля­ет со­бой при­бли­же­ние ма­те­ма­ти­че­ской мо­де­ли. Она пред­став­ля­ет со­бой в не­ко­то­рой сте­пе­ни «мо­дель мо­де­ли».

Рас­ска­жу вкрат­це об од­ном под­хо­де к чис­лен­но­му мо­де­ли­ро­ва­нию жид­ко­сти: ме­то­де ко­неч­ных эле­мен­тов. Для то­го что­бы хра­нить со­стоя­ние жид­ко­сти в па­мя­ти ком­пью­те­ра, имею­щей ко­неч­ный объ­ём, в жид­ко­сти вы­де­ля­ют ко­неч­ное чис­ло то­чек, па­ра­мет­ры в ко­то­рых вы­чис­ля­ют­ся. Счи­та­ет­ся, что каж­дая точ­ка не­по­сред­ствен­но вза­и­мо­дей­ству­ет лишь с не­сколь­ки­ми со­сед­ни­ми точ­ка­ми. Ес­ли со­еди­нить вза­и­мо­дей­ствую­щие точ­ки от­рез­ка­ми, то вы­чис­ля­е­мая об­ласть по­кро­ет­ся сет­кой (см. ри­су­нок 2). Та­кая сет­ка на­зы­ва­ет­ся рас­чёт­ной сет­кой, а вы­чис­ляе­мые точ­ки — уз­ла­ми этой сет­ки.

При­мер рас­чет­ной сет­ки для вы­чис­ле­ния те­че­ний в Азов­ском мо­ре

Ри­су­нок 2. При­мер рас­чет­ной сет­ки для вы­чис­ле­ния те­че­ний в Азов­ском мо­ре

Обыч­но за ос­но­ву бе­рут­ся урав­не­ния На­вье–​Сток­са. Они за­тем мо­дифи­ци­ру­ют­ся пу­тём вве­де­ния в рас­смот­ре­ние важ­ных фак­то­ров: глу­би­ны, гра­ви­та­ции, осад­ков, си­лы Ко­рио­лис­са, вет­ра, вяз­ко­сти, тур­бу­лент­ной диф­фу­зии, сто­ков рек,…

Па­ра­мет­ры жид­ко­сти (дав­ле­ние, ком­по­нен­ты ско­ро­сти, со­лё­ность, тем­пе­ра­ту­ра и дру­гие) в уз­лах сет­ки свя­зы­ва­ют­ся урав­не­ни­я­ми, ко­то­рые по­лу­ча­ют­ся ин­тег­ри­ро­ва­ни­ем ис­ход­ных диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний по ячей­кам сет­ки. Об­ра­зу­ет­ся се­точ­ная си­сте­ма урав­не­ний.

Вре­мя то­же дро­бит­ся на от­рез­ки. Вы­во­дит­ся за­ви­си­мость меж­ду зна­че­ни­я­ми па­ра­мет­ров жид­ко­сти в сет­ке в те­ку­щий мо­мент вре­ме­ни и, на­при­мер, зна­че­ни­я­ми па­ра­мет­ров се­кун­ду на­зад (это на­зы­ва­ет­ся вре­мен­ным ша­гом). Та­ким об­ра­зом, се­кун­да за се­кун­дой, мы мо­жем рас­счи­тать год су­ще­ство­ва­ния во­до­ё­ма.

По­лу­ча­ет­ся, что па­ра­мет­ры каж­до­го уз­ла сет­ки на­хо­дят­ся в за­ви­си­мо­сти от окру­жаю­щих его уз­лов (с ко­то­ры­ми он свя­зан рёб­ра­ми). Уз­лы сет­ки как бы яв­ля­ют­ся боч­ка­ми с во­дой, а рёб­ра — тру­ба­ми, со­еди­няю­щи­ми эти боч­ки. Оста­ёт­ся толь­ко на­де­ять­ся, что по­доб­ная «сеть труб и бо­чек», бу­дучи до­ста­точ­но по­дроб­ной, даст при­бли­же­ние к те­че­нию жид­ко­сти в ре­аль­ном во­до­ё­ме.

По­сле на­пи­са­ния ком­пью­тер­ной про­грам­мы, она за­пус­ка­ет­ся на счёт для раз­лич­ных зна­че­ний па­ра­мет­ров. Каж­дое вы­чис­ле­ние кар­ты те­че­ний с ис­поль­зо­ва­ни­ем пер­со­наль­но­го ком­пью­те­ра мо­жет за­ни­мать не­сколь­ко ча­сов и да­же дней. Что­бы умень­шить вре­мя вы­чис­ле­ний со­зда­ют­ся па­ра­л­лель­ные про­грам­мы, спо­соб­ные ра­бо­тать од­но­вре­мен­но на де­сят­ках ком­пью­те­ров, объ­еди­няя их вы­чис­ли­тель­ные ре­сур­сы.

Ре­зуль­тат гид­ро­ди­на­ми­че­ско­го мо­де­ли­ро­ва­ния

Ри­су­нок 3. Ре­зуль­тат мо­де­ли­ро­ва­ния. Се­вер­ный ве­тер, 5 м/с.
Цве­том по­ка­за­но воз­вы­ше­ние уров­ня во­ды из-за вет­ра

И вот, на­ко­нец, по­сле мно­го­крат­но­го ис­прав­ле­ния про­грам­мы и до­ра­бот­ки мо­де­ли мы по­лу­ча­ем ре­зуль­та­ты, ко­то­рые счи­та­ем ито­го­вы­ми. Но как узнать, яв­ля­ют­ся ли эти ре­зуль­та­ты вер­ны­ми? Со­от­вет­ству­ют ли они дей­стви­тель­но­сти? Для это­го ис­поль­зу­ет­ся так на­зы­ва­е­мая ве­рифи­ка­ция мо­де­ли: мо­дель про­ве­ря­ет­ся на ис­ход­ных дан­ных, ре­зуль­тат для ко­то­рых из­ве­с­тен (из­ме­рен или точ­но вы­чис­лен). Это мо­жет быть, на­при­мер, дру­гая, про­стая фор­ма во­до­ё­ма с за­дан­ны­ми по­год­ны­ми усло­ви­я­ми, для ко­то­рой из­ве­ст­на кар­ти­на те­че­ний. И, ес­ли мо­дель (про­грам­ма) да­ла точ­ный ре­зуль­тат на из­ве­ст­ных дан­ных, счи­та­ет­ся, что она бу­дет да­вать при­ем­ле­мые ре­зуль­та­ты и на дру­гих, прак­ти­че­ски по­лез­ных дан­ных, ре­зуль­тат для ко­то­рых не­из­ве­с­тен. Это по­хо­же на сда­чу эк­за­ме­нов по во­жде­нию ав­то­мо­би­ля: ес­ли уче­ник зна­ет пра­ви­ла (про­грам­ма на­пи­са­на без оши­бок) и вы­пол­нил все упраж­не­ния (про­грам­ма да­ёт хо­ро­шие ре­зуль­та­ты на те­сто­вых за­да­чах), то счи­та­ет­ся, что в даль­ней­шем он бу­дет хо­ро­шо ез­дить на ав­то­мо­би­ле по го­ро­ду.

Од­на­ко чис­лен­ное мо­де­ли­ро­ва­ние те­че­ний жид­ко­сти не так про­сто и безоб­лач­но, как мо­жет по­ка­зать­ся. Вот, на мой взгляд, не­ко­то­рые про­бле­мы вы­чис­ли­тель­ной гид­ро­ди­на­ми­ки, над ре­ше­ни­ем ко­то­рых сей­час упор­но ра­бо­та­ют ис­сле­до­ва­те­ли:

  1. Пре­жде все­го, урав­не­ния На­вье–​Сток­са — не­ли­ней­ные. Воз­мож­но су­ще­ство­ва­ние не­сколь­ких ре­ше­ний, чис­лен­ные ме­то­ды до­ста­точ­но слож­ны, труд­но до­бить­ся га­ран­ти­ро­ван­ной схо­ди­мо­сти.
  2. Жид­кость — слож­ная суб­стан­ция, об­ла­даю­щая раз­лич­ны­ми ме­няю­щи­ми­ся во вре­ме­ни и про­стран­стве ха­рак­те­ри­сти­ка­ми. За­ча­стую по­лу­ча­ет­ся так, что при вы­чис­ле­нии од­ной ха­рак­те­ри­сти­ки мы на­ру­ша­ем дру­гую. Тре­бу­ют­ся вся­кие изощ­рён­ные ме­то­ды, что­бы это­го не слу­ча­лось (на­при­мер, по­прав­ка к дав­ле­нию).
  3. Нуж­но до­бить­ся вы­пол­не­ния за­ко­нов со­хра­не­ния энер­гии и им­пуль­са. Диф­фе­рен­ци­аль­ные урав­не­ния гид­ро­ди­на­ми­ки со­дер­жат эти за­ко­ны лишь кос­вен­но: ес­ли их про­ин­тег­ри­ро­вать по всей об­ла­сти, то по­лу­чит­ся, что сум­мар­ные энер­гия и им­пульс в ней со­хра­ня­ют­ся (не ме­ня­ют­ся со вре­ме­нем). Чис­лен­ные схе­мы, да­же ес­ли они не­пло­хо при­бли­жа­ют урав­не­ния (и те­че­ния) ло­каль­но, мо­гут да­вать су­ще­ствен­ные рас­хож­де­ния в та­ких гло­баль­ных па­ра­мет­рах, как энер­гия и им­пульс.
  4. Схем­ная вяз­кость: каж­дая ячей­ка/точ­ка/эле­мент сет­ки об­ла­да­ют не­ко­то­рым на­бо­ром па­ра­мет­ров. Но этот на­бор — ко­неч­ный. На­при­мер, мы мо­жем хра­нить сред­ние дав­ле­ние и ско­рость жид­ко­сти в ячей­ке. Это озна­ча­ет, что на каж­дом ша­ге по вре­ме­ни мы бу­дем упор­но те­рять все те осо­бен­но­сти те­че­ния, ко­то­рые не мо­гут быть опи­са­ны имею­щим­ся в ячей­ке (и в сет­ке в це­лом) на­бо­ром па­ра­мет­ров. В слу­чае хра­не­ния сред­них зна­че­ний, эти осо­бен­но­сти как бы мгно­вен­но «раз­ма­зы­ва­ют­ся» по всей ячей­ке. Это на­по­ми­на­ет до­пол­ни­тель­ную вяз­кость, ко­то­рая бу­дет за­ви­сеть от раз­ме­ров и фор­мы яче­ек сет­ки. Мо­де­ли­ро­ва­ние те­че­ния не­вяз­кой жид­ко­сти ста­но­вит­ся край­не слож­ным.
  5. Пло­хая устой­чи­вость: за­ча­стую при­хо­дит­ся ре­шать за­да­чу гид­ро­ди­на­ми­ки при очень ма­лых зна­че­ни­ях вре­мен­но­го ша­га, так как при боль­ших ша­гах схе­ма по­про­сту «раз­ва­ли­ва­ет­ся» (воз­ни­ка­ют на­рас­таю­щие ко­ле­ба­ния па­ра­мет­ров). Боль­шое чис­ло вре­мен­ных ша­гов при­во­дит к мед­лен­ным вы­чис­ле­ни­ям, на­коп­ле­нию по­греш­но­стей, и уси­ли­ва­ет схем­ную вяз­кость.
  6. Тур­бу­лент­ность: до сих пор не до кон­ца ис­сле­до­ван­ное яв­ле­ние. Ес­ли с рас­че­том ла­ми­нар­ных по­то­ков учё­ные на­учи­лись справ­лять­ся, то для ре­ше­ния за­дач с тур­бу­лент­но­стью каж­дый раз при­хо­дит­ся ду­мать. Тур­бу­лент­ность воз­ни­ка­ет рез­ко и на всех мас­шта­бах рас­стоя­ния. Воз­ни­ка­ют про­бле­мы учё­та мас­шта­бов тур­бу­лент­но­сти, срав­ни­мых с раз­ме­ром яче­ек и мень­ших их. Для это­го су­ще­ству­ют раз­лич­ные мо­де­ли, так или ина­че при­бли­жаю­щие тур­бу­лент­ность и её сред­ние ха­рак­те­ри­сти­ки.
  7. В при­клад­ных за­да­чах за­ча­стую тре­бу­ет­ся учесть до­пол­ни­тель­ные фак­то­ры, что зна­чи­тель­но услож­ня­ет мо­де­ли­ро­ва­ние: де­фор­ма­ция сте­нок тру­бо­про­во­да, тем­пе­ра­ту­ра, со­лё­ность, ре­льеф дна, вол­не­ние на по­верх­но­сти (по­движ­ная верх­няя гра­ни­ца), ве­тер, си­ла Ко­риол­ли­са, ис­па­ре­ние и осад­ки, при­ли­вы и от­ли­вы, под­зем­ные ис­точ­ни­ки и про­чее, и про­чее...
  8. А ещё бы­ва­ют сверх­зву­ко­вые те­че­ния, об­ра­зо­ва­ние пу­зырь­ков (раз­рыв по­то­ка), элек­тро­маг­нит­ные яв­ле­ния в жид­ко­сти при её те­че­нии в маг­нит­ном по­ле...

В за­клю­че­ние это­го пунк­та при­ве­ду ещё не­сколь­ко ком­пью­тер­ных ил­лю­стра­ций чис­лен­но­го мо­де­ли­ро­ва­ния те­че­ния жид­ко­сти:

Об­ра­зо­ва­ние вих­рей в вяз­кой жид­ко­сти

Ри­су­нок 4. Об­ра­зо­ва­ние вих­рей в вяз­кой жид­ко­сти воз­ле гра­ниц из од­но­го на­чаль­но­го вих­ря, сме­щён­но­го от­но­си­тель­но цен­тра об­ла­сти. По­ка­за­ны изо­ли­нии дав­ле­ния: дав­ле­ние внут­ри вих­ря все­гда ни­же, чем дав­ле­ние сна­ру­жи

Ис­те­че­ние жид­ко­сти из соп­ла

Ри­су­нок 5. Ис­те­че­ние жид­ко­сти из соп­ла

Ни­ти то­ка жид­ко­сти

Ри­су­нок 6. «Ни­ти то­ка» жид­ко­сти, про­те­каю­щей че­рез тру­бу слож­ной фор­мы

За­клю­че­ние

В дан­ной ра­бо­те не за­тро­ну­ты по­верх­ност­ное на­тя­же­ние жид­ко­сти, фа­зо­вые пе­ре­хо­ды и про­чие свой­ства жид­ко­сти, как хи­ми­че­ской и фи­зи­че­ской суб­стан­ции. Рас­смот­ре­но лишь те­че­ние (дви­же­ние) жид­ко­сти.

Кро­ме то­го, у са­мой зна­ко­мой нам жид­ко­сти — во­ды — есть са­мые уди­ви­тель­ные свой­ства из всех жид­ко­стей на Зем­ле. Очень ре­ко­мен­дую озна­ко­мить­ся с кни­гой [4].

На­де­юсь, что я смог за­ин­те­ре­со­вать чи­та­те­ля уди­ви­тель­ной на­у­кой гид­ро­ди­на­ми­кой. Ис­то­рия этой на­у­ки, оче­вид­но, не за­кон­че­на. Ещё мно­го сто­ле­тий она бу­дет за­ни­мать умы учё­ных. Кто зна­ет, воз­мож­но, в бу­ду­щем по­явят­ся про­стые урав­не­ния, опи­сы­ваю­щие всё мно­го­об­ра­зие фе­но­ме­нов, наблю­дае­мых при дви­же­нии во­ды. Но мо­жет слу­чить­ся и так, что урав­не­ния (и пред­став­ле­ния о жид­ко­сти) бу­дут услож­нять­ся, вклю­чая в се­бя всё но­вые и но­вые яв­ле­ния.

Спи­сок ис­поль­зо­ван­ных ма­те­ри­а­лов

По­сле но­ме­ра сто­ит про­цент, по­ка­зы­ваю­щий, ка­кая часть тек­ста взя­та из дан­но­го ис­точ­ни­ка.

  1. 30%. 11th Edition of the Enciclopaedia Britannica. 1911 г. На ан­глий­ском язы­ке. Осо­бен­но ин­те­рес­на ста­тья «Hydromechanics».
  2. 30%. Бе­тя­ев С. К. «Про­ле­го­ме­ны к ме­та­гид­ро­ди­на­ми­ке». РХД, 2006 г. 304 стр.
  3. 20%. Wikipedia, the Free Encyclopedia. На ан­глий­ском и рус­ском язы­ках.
  4. 0%. Лео­нид Адоль­фо­вич Куль­ский, Во­ля Ва­си­льев­на Даль, Люд­ми­ла Гри­го­рьев­на Лен­чи­на. «Во­да зна­ко­мая и за­га­доч­ная». Из­датель­ство «Ра­дянсь­ка шко­ла», 1982 г. 53 стр. Ссыл­ка

Осталь­ные 20% — соб­ствен­ный текст.

120 отзывов на «историю гидродинамики»

Огром­ное спа­си­бо за «Ис­то­рию гид­ро­ди­на­ми­ки». Моя дочь Ва­ше­го воз­рас­та в обо­зри­мом бу­ду­щем за­щи­ща­ет кан­ди­дат­скую по од­ной из тем тур­бу­лент­но­сти, а моя ин­же­нер­ная спе­ци­аль­ность от это­го да­ле­ка. Те­перь мне бу­дет лег­че най­ти об­щий язык с до­че­рью. Бле­стя­щая ста­тья, гид­ро­ди­на­ми­кой за­ин­те­ре­со­ва­ли!
Ан­тон, ве­ли­ко­леп­ный сайт. Не­дав­но на­чал тес­но за­ни­мать­ся с CFD-ком­плек­са­ми и ма­те­ма­ти­че­ским и ин­же­нер­ным ана­ли­зом слож­ных рас­че­тов — на ваш сайт на­ткнул­ся в по­ис­ке ин­фор­ма­ции для ре­фе­ра­та по ис­то­рии на­у­ки для ас­пи­ран­ту­ры — очень по­нра­ви­лась ста­тья ва­ша по гид­ро­ди­на­ми­ке, хо­чу ис­поль­зо­вать ее в сво­ей ра­бо­те — в спис­ке ис­точ­ни­ков пре­не­пре­мен­но ука­жу ваш сайт
Ста­тья по ис­то­рии гид­ро­ди­на­ми­ки — это и есть мой ре­фе­рат по ис­то­рии на­у­ки для ас­пи­ран­ту­ры. Вот та­кие сов­па­де­ния.
Ре­фе­рат по ис­то­рии на­у­ки для ас­пи­ран­ту­ры — ак­ту­аль­ная те­ма! Ан­тон, ес­ли Вы не воз­ра­жа­е­те, я то­же вос­поль­зу­юсь Ва­шим гра­мот­но обоб­щен­ным ма­те­ри­а­лом и то­же пре­не­пре­мен­но ука­жу сайт в спис­ке ис­точ­ни­ков. Рад ви­деть лю­дей с близ­ки­ми ин­те­ре­са­ми!
Мне то­же для ре­фе­ра­та для ас­пи­ран­ту­ры на кан­ди­дат­ский нуж­на ис­то­рия гид­ро­ди­на­ми­ки! Класс­но, спа­си­бо за ин­фор­ма­цию… Нас по­том всех не по­прут из ас­пи­ран­ту­ры за оди­на­ко­вые ре­фе­ра­ты?
Те­перь нас уже трое — то­же ре­фе­рат, то­же кан­ди­дат­ский!
Огра­ни­че­ние, что жид­кость не­сжи­ма­е­ма , от­бра­сы­ва­ет на­ли­чие в жид­ко­сти энер­гии сжа­тия (ко­эф­фи­ци­ент сжи­ма­е­мо­сти = 0) .
Но жид­кость про­дол­жа­ет иметь те­ку­честь (из­ме­ня­ет фор­му не из­ме­няя объ­ем) и про­дол­жа­ет течь по тру­бам .
При ис­те­че­нии жид­ко­сти че­рез от­вер­стие из со­су­да Тор­ри­чел­ли фи­зи­ки мо­гут наблю­дать не­пре­рыв­ное пре­об­ра­зо­ва­ние по­тен­ци­аль­ной энер­гии на­коп­лен­ной жид­ко­стью в со­су­де в по­ле си­лы тя­го­те­ния Зем­ли в ки­не­ти­че­скую ( то есть энер­гию дви­же­ния) .
По­сколь­ку жид­кость не­сжи­ма­е­ма , то при­об­ре­та­е­мая жид­ко­стью ки­не­ти­че­ская энер­гия мо­жет быть объ­яс­не­на толь­ко на ос­но­ве ди­на­ми­ки твер­до­го те­ла .
А имен­но всем из­вест­но­го вто­ро­го за­ко­на Нью­то­на.
Его фун­да­мент – из­ме­не­ние ско­ро­сти те­ла мас­сой М под дей­стви­ем си­лы
(то есть влия­ния на не­го дру­го­го те­ла).
У нас это влия­ние вы­ра­же­но в ви­де воз­дей­ствия од­ной ча­сти жид­ко­сти (од­но­го те­ла) на дру­гую ее часть (дру­гое те­ло) .
При вы­тал­ки­ва­нии ча­сти жид­ко­сти из со­су­да (пред­став­ля­ем се­бе твер­дое те­ло) , она за ко­неч­ное вре­мя при­об­ре­та­ет ко­неч­ную ско­рость дви­же­ния .
А зна­чит и ко­неч­ное воз­дей­ствие со сто­ро­ны жид­ко­сти на­хо­дя­щей­ся в со­су­де (ина­че бы ско­рость по­сто­ян­но уве­ли­чи­ва­лась, что про­ти­во­ре­чит тео­ре­ме Тор­ри­чел­ли ).
Та­ким об­ра­зом про­ис­хо­дит не толь­ко из­ме­не­ние ско­ро­сти под дей­стви­ем си­лы , но что не ме­нее важ­но — из­ме­не­ние си­лы воз­дей­ствия (от мак­си­маль­но­го зна­че­ния до ну­ле­во­го ) при из­ме­не­нии ско­ро­сти дви­же­ния вы­те­ка­е­мой из от­вер­стия жид­ко­сти.
А урав­не­ние Бер­нул­ли – след­ствие тео­ре­мы Тор­ри­чел­ли .
Нет со­су­да Тор­ри­чел­ли – не­при­ме­ни­мо урав­не­ние Бер­нул­ли .
Дви­же­ние сжа­той жид­ко­сти в за­мкну­той тру­бе раз­лич­ных се­че­ний не со­дер­жит со­су­да Тор­ри­чел­ли ( жид­кость име­ет ки­не­ти­че­скую энер­гию и энер­гию
сжа­тия ). Как при­ме­нить урав­не­ние Бер­нул­ли в этом слу­чае?
Ста­тья Ан­то­на по­зна­ва­тель­на. Спа­си­бо.
«Ис­то­рия га­зо­вой ме­ха­ни­ки из­ло­же­на Я.Б. Зель­до­ви­чем. Удар­ную вол­ну от­крыл «на кон­чи­ке пе­ра» Б. Ри­ман в 1876 го­ду. Од­на­ко ги­по­те­зу о су­ще­ство­ва­нии удар­ной вол­ны за­дол­го до не­го, в 1848 го­ду, вы­ска­зал Стокс, но от­ка­зал­ся от нее под влия­ни­ем кри­ти­ки В. Том­со­на и сво­е­го уче­ни­ка лор­да Рэ­лея.» Ри­ман ни­как не мог в 1876 го­ду от­крыть удар­ную вол­ну (он в 1866 го­ду умер). Это бы­ло 1860-м. Ис­правь­те, по­жа­луй­ста.
«Од­на­ко ги­по­те­зу о су­ще­ство­ва­нии удар­ной вол­ны за­дол­го до не­го, в 1848 го­ду, вы­ска­зал Стокс, но от­ка­зал­ся от нее под влия­ни­ем кри­ти­ки В. Том­со­на и сво­е­го уче­ни­ка лор­да Рэ­лея.» Здесь ошиб­ка пе­ре­во­да. В 1848 го­ду Стокс вы­ска­зал ги­по­те­зу о су­ще­ство­ва­нии удар­ной вол­ны, но от­ка­зал­ся от сво­ей ра­бо­ты. Од­на­ко Лорд Кель­вин и Лорд Рэ­лей поз­же убе­ди­ли его что он был всё же прав. Как то так. Ис­точ­ник http://www.potto.org/gasDynamics/node44.html
Ну ни­как в 1848 го­ду Рэ­лей ни­как не мог убе­дить Сток­са (Рэ­лею то­гда бы­ло 8 лет)…
Во мно­гих ме­стах ста­тья — пе­ре­сказ ан­гло­языч­ной «Ви­ки­пе­дии»: http://en.wikipedia.org/wiki/History_of_fluid_mechanics,
что вид­но уже из то­го, что Иоганн Бер­нул­ли (имен­но так при­ня­то в боль­шей ча­сти рус­ско­языч­ных ис­точ­ни­ков) на­зы­ва­ет­ся «Джо­ном Бер­нул­ли».
P.S. Не посмот­рел на вто­рую стра­ни­цу, где ав­тор чест­но рас­ска­зы­ва­ет об ис­точ­ни­ках. Про­шу про­ще­ния. Ссыл­ка на «Бри­тан­ни­ку» не ра­бо­та­ет, сайт за­крыл­ся. Спа­си­бо за ин­те­рес­ный сайт, с ин­те­ре­сом про­чи­тал дис­сер­та­цию ав­то­ра. Очень по­ра­до­ва­ли ав­то­ма­ти­че­ские пе­ре­но­сы и за­ме­ны ка­вы­чек на сай­те. Уда­чи.
Hello!
Hello!
Hello!
Hello!
Hello!
Hello!
Hello!
maximum personal loan calculator payday loans in sturgis sd payday loans
payday loans ft walton beach fl purpose of personal loans
Hello!
Hello!
Hello!
supersonic payday loans multiple payday loans at once payday loans
personal loans duluth mn cash advance murfreesboro rd
unsecured loans guernsey payday loans
dnb personal loan
Hello!
Hello!
Hello!
Hello!
Hello!
Hello!
Hello!
Hello!
Спа­си­бо за ре­фе­рат! Хо­ро­шее вве­де­ние в те­му.
Hello!
Hello!
Hello!
Hello!
Hello!
Hello!
These spet tips describe key methods for transforming your daily life about.
free phone number lookup reverse reverse phone number lookup usa free reverse phone call lookup us
phone lookup reverse free
Heya! I just wanted to ask if you ever have any problems with hackers?
My last blog (wordpress) was hacked and I ended
up losing months of hard work due to no data backup.
Do you have any solutions to protect against hackers?
Hello I am so thrilled I found your website, I really found you by mistake, while I was looking on Aol for something
else, Anyways I am here now and would just like to say cheers for a tremendous post and a
all round thrilling blog (I also love the theme/design), I don’t have time to read through it
all at the minute but I have saved it and also added your RSS feeds,
so when I have time I will be back to read a lot more, Please
do keep up the excellent work.
This post is really a nice one it helps new net people,
who are wishing in favor of blogging.
Greetings from Idaho! I’m bored at work so I decided to browse your site on my iphone during lunch break.
I really like the knowledge you present here and can’t wait to take a look when I get home.
I’m surprised at how fast your blog loaded on my mobile ..
I’m not even using WIFI, just 3G .. Anyways, fantastic blog!
I’m gone to tell my little brother, that he should also visit this blog on regular
basis to take updated from most recent information.
Hello! I simply would like to offer you a big thumbs up for the great info you have
right here on this post. I am returning to
your website for more soon.
Very good site you have here but I was wanting to know if you knew of any message
boards that cover the same topics discussed here? I’d really love to be
a part of online community where I can get feedback from other experienced individuals that share the same interest.
If you have any recommendations, please let me know. Bless you!
My spouse and I stumbled over here from a different web address
and thought I might check things out. I like what I see so now
i am following you. Look forward to looking at your web page yet again.
Hello this is somewhat of off topic but I was wanting to know if blogs use
WYSIWYG editors or if you have to manually code with HTML.
I’m starting a blog soon but have no coding know-how so I
wanted to get advice from someone with experience.
Any help would be enormously appreciated!
Hmm is anyone else experiencing problems with the pictures on this blog loading?
I’m trying to figure out if its a problem on my end or if it’s the blog.
Any feed-back would be greatly appreciated.
No matter if some one searches for his vital thing,
so he/she needs to be available that in detail, thus that thing is maintained over here.
Hi there i am kavin, its my first time to commenting anyplace, when i read this paragraph i thought i could also
create comment due to this brilliant paragraph.
For most up-to-date news you have to pay a quick visit world wide web
and on web I found this website as a most excellent web site for most recent updates.
It’s really a cool and helpful piece of info. I am satisfied that you just shared this
helpful info with us. Please keep us informed like this.
Thanks for sharing.
Excellent post. I was checking continuously this weblog
and I am impressed! Very useful info specially the last phase
I maintain such info much. I was looking for this certain information for a long time.
Thank you and best of luck.
Tremendous issues here. I am very happy to look your article. Thanks so much and I’m looking forward to touch you.
Will you please drop me a mail?
Greetings from Colorado! I’m bored to tears at work so I decided to browse your website on my
iphone during lunch break. I enjoy the information you present here and can’t
wait to take a look when I get home. I’m shocked at how quick your
blog loaded on my phone .. I’m not even using WIFI, just 3G ..
Anyhow, wonderful blog!
Howdy very nice web site!! Guy .. Beautiful ..
Amazing .. I will bookmark your site and take the feeds also? I am glad to seek out numerous helpful info right here within the submit, we need develop more techniques in this regard, thanks for sharing.
. . . . .
My brother recommended I might like this web site.
He was once entirely right. This post truly made my day.
You can not consider just how much time I had
spent for this info! Thanks!
It’s a pity you don’t have a donate button! I’d without a doubt donate to this
outstanding blog! I guess for now i’ll settle for book-marking and adding
your RSS feed to my Google account. I look forward to new updates and will share
this website with my Facebook group. Chat soon!
continuously i used to read smaller content which as well clear
their motive, and that is also happening with this piece of
writing which I am reading at this place.
I’m impressed, I must say. Seldom do I encounter a blog that’s
both educative and entertaining, and without a doubt, you have hit the nail on the head. The problem is something which not enough folks are speaking intelligently about.
Now i’m very happy that I found this during my search for something concerning this.
Very good website you have here but I was curious about if you knew of
any user discussion forums that cover the same topics talked about
in this article? I’d really like to be a part of online community where I can get
feed-back from other experienced individuals that share the same interest.
If you have any recommendations, please let me know.
Thanks a lot!
My brother recommended I may like this website. He was
entirely right. This submit actually made my day. You cann’t consider just how much time I had spent for this info!
Thank you!
Outstanding quest there. What occurred after? Thanks!
This is really interesting, You are a very skilled blogger.
I have joined your feed and look forward
to searching for extra of your magnificent post. Also, I’ve shared your site in my social networks
Hello, i read your blog occasionally and i own a similar one and i was just wondering if you get a lot of spam feedback? If so how do you prevent it, any plugin or anything you can suggest? I get so much lately it’s driving me insane so any assistance
is very much appreciated.
I would like to thank you for the efforts you’ve put in penning this blog.
I am hoping to see the same high-grade content by you later on as
well. In fact, your creative writing abilities has
motivated me to get my own, personal blog now
Awesome article.
I am sure this piece of writing has touched all the
internet users, its really really nice article on building up new website.
You really make it seem really easy with your presentation but I in finding this matter to be actually something that I feel I might by no means understand. It sort of feels too complicated and extremely vast for me.
I am taking a look ahead for your subsequent put up,
I’ll try to get the hold of it! Have a look at my weblog; faux mink eyelash extensions for sale
Thanks for every other excellent article. The place else may anybody get that type of information in such
an ideal method of writing? I’ve a presentation next week, and
I am at the search for such info.
I’m amazed, I must say. Rarely do I come across a blog that’s equally educative and
entertaining, and without a doubt, you’ve hit the nail on the head.
The problem is something that not enough men and women are speaking intelligently about. I am very happy that I stumbled across this during my hunt
for something regarding this. Feel free to surf to my blog: mink lashes strip
First off I want to say superb blog! I had a quick question which I’d like to ask if you do not
mind. I was curious to know how you center yourself and
clear your thoughts prior to writing. I have had difficulty clearing my thoughts in getting my thoughts
out there. I truly do enjoy writing but it just seems like the first 10 to 15 minutes are wasted just trying to figure
out how to begin. Any suggestions or hints? Thanks!
It’s remarkable to go to see this web site and reading the views of all mates concerning this
post, while I am also zealous of getting experience. my web site: madden mobile coin sell
I have been browsing online more than three hours today,
yet I never found any interesting article like yours.
It is pretty worth enough for me. Personally, if all website owners and bloggers made
good content as you did, the net will be much more useful than ever
before. Look into my weblog kids video game — http://www.2nd-byte.com/,
Howdy, i read your blog from time to time and i own a similar one and i was just curious if you get
a lot of spam responses? If so how do you
reduce it, any plugin or anything you can advise?
I get so much lately it’s driving me crazy so any help
is very much appreciated. My page: madden mobile coin sell
Hi, after reading this remarkable article i am too delighted to share my knowledge here with friends. Here is my website faux mink lashes for sale (https://www.cashadvancenow.com/ActivityFeed/MyProfile/tabid/61/UserId/143992/Default.aspx)
Great post. my blog post: hair stylist (Rena)
Greetings! I know this is somewhat off topic but I was wondering
which blog platform are you using for this website? I’m getting fed up of WordPress because I’ve had issues
with hackers and I’m looking at alternatives for another platform.
I would be awesome if you could point me in the direction of
a good platform. Take a look at my blog; cs go skin trade reddit
If you would like to increase your know-how just keep visiting this site
and be updated with the most recent news update posted here. Also visit my website: csgo skins price drop
Hey there, I think your site might be having browser compatibility issues. When I look at your blog site in Safari,
it looks fine but when opening in Internet Explorer,
it has some overlapping. I just wanted to give you a quick heads up! Other then that, fantastic blog! Feel free to surf to my web site: silk lash extensions melbourne
In fact when someone doesn’t understand then its up to other viewers that they will
assist, so here it occurs. my web-site — fifa coins zone ps4, http://www.coopdb.com/modules.php?name=Your_Account&op=userinfo&username=WildaDrisc,
I’m not that much of a online reader to be honest but your blogs really nice, keep it up!
I’ll go ahead and bookmark your website to come back later.
Many thanks my weblog; fifa 17 coins ps4 uk
you are in reality a good webmaster. The site loading speed is incredible.
It kind of feels that you’re doing any unique trick. Moreover, The contents are masterwork.
you’ve done a magnificent job on this matter! Here is my homepage: cs go skins trade guide
These are really great ideas in on the topic of blogging.
You have touched some pleasant factors here. Any way keep up wrinting. Feel free to visit my web page; mink lashes for sale
Today, I went to the beach front with my children. I found a sea shell and gave it
to my 4 year old daughter and said «You can hear the ocean if you put this to your ear.» She placed the shell to her
ear and screamed. There was a hermit crab inside and it pinched her ear.
She never wants to go back! LoL I know this is totally
off topic but I had to tell someone! Feel free to surf to my web-site — cs go knife skins steam
Unquestionably believe that which you said. Your favourite reason appeared to
be on the internet the simplest factor to understand of.
I say to you, I definitely get irked at the same
time as folks think about worries that they plainly do not understand
about. You managed to hit the nail upon the highest and
defined out the whole thing with no need side-effects
, other people could take a signal. Will probably be again to get
more. Thanks Look into my webpage: mink lashes sephora
[healthcareersinthebush.com]
If you desire to obtain a good deal from this paragraph then you have to apply these
techniques to your won website.
I have read so many posts on the topic of the blogger
lovers except this post is really a nice piece of writing, keep
it up. my web site — fifa coins cheap xbox one
I think this is among the most important
information for me. And i am glad reading your article.
But should remark on some general things, The website style is perfect, the articles is really great : D. Good job, cheers My homepage :: mink lash extensions kit
Hurrah, that’s what I was searching for, what
a data! existing here at this website, thanks admin of this web page. my web site :: mink eyelashes amazon
you are truly a excellent webmaster. The website loading pace is incredible.
It seems that you’re doing any unique trick.
Furthermore, The contents are masterpiece. you have done a excellent process
on this matter! My web page — cs go skins for money
Somebody essentially help to make severely posts I’d state. That is the very first time I frequented your web
page and so far? I surprised with the analysis you made to create
this actual put up incredible. Fantastic process! Stop by my page — silk lash extensions melbourne
What a stuff of un-ambiguity and preserveness of precious experience about unexpected emotions. My weblog … fifa coins free ps4
Have you ever considered publishing an ebook or guest authoring on other blogs?
I have a blog centered on the same ideas you discuss and would
really like to have you share some stories/information. I know my readers
would enjoy your work. If you are even remotely interested,
feel free to shoot me an e mail. my blog: cs go skins trade bot
I do not even know the way I stopped up right here, however I believed this submit was great.
I do not realize who you are but certainly you’re going to a famous blogger should you aren’t already.
Cheers! Visit my web site … fifa coins generator reddit
I loved as much as you will receive carried out right here.
The sketch is attractive, your authored material stylish. nonetheless, you command get got an nervousness over that you wish be
delivering the following. unwell unquestionably come more formerly again as exactly the same nearly very often inside case you shield
this increase.
What’s up it’s me, I am also visiting this site regularly, this web
site is really nice and the visitors are truly sharing nice thoughts.
I am really grateful to the holder of this web page who has shared this impressive piece of writing at at this
place.
I every time spent my half an hour to read this blog’s articles everyday along with a cup of coffee. My site; mink lash extensions dublin
Good day! I know this is kinda off topic nevertheless I’d figured I’d ask.
Would you be interested in trading links or maybe guest authoring a blog post or vice-versa?
My blog addresses a lot of the same subjects as yours and I think we
could greatly benefit from each other. If you’re
interested feel free to send me an e-mail. I look forward to hearing from you!
Excellent blog by the way! Look into my web-site: silk eyelashes vs mink
It’s an remarkable paragraph in support of all the online
visitors; they will take advantage from it I am sure. Also visit my web blog; fifa coins for sale cheap (Roxanne)
Excellent post. I was checking constantly this blog and I’m impressed!
Extremely helpful information specifically the last part
I care for such info a lot. I was looking for this particular information for a very long time. Thank you and good luck.
Excellent blog! Do you have any suggestions for aspiring writers? I’m hoping to start my own blog soon but I’m a little
lost on everything. Would you suggest starting with a free
platform like WordPress or go for a paid option? There are so many
options out there that I’m totally overwhelmed ..
Any suggestions? Thanks!
I constantly spent my half an hour to read this website’s content everyday along with a mug of coffee.
Magnificent beat ! I wish to apprentice while you amend your web site, how could i
subscribe for a blog web site? The account helped me a acceptable deal.
I had been a little bit acquainted of this your broadcast offered bright
clear concept
Do you have a spam problem on this site; I also am a blogger, and I was curious about your situation; we have developed some nice methods and we are looking
to exchange strategies with others, be sure to shoot me an email if interested.
Very nice write-up. I absolutely love this website. Thanks!
Your style is really unique in comparison to other folks I’ve read stuff from.
Thank you for posting when you’ve got the opportunity, Guess I will just book mark this page.
Incredible quest there. What happened after? Thanks!
Good post. I learn something totally new and challenging on blogs
I stumbleupon every day. It’s always exciting to read through articles
from other authors and practice something from their websites. my web blog :: silk lash extensions review
I like the valuable info you provide in your articles.
I will bookmark your weblog and check again here regularly.
I am quite certain I’ll learn lots of new stuff right here!
Good luck for the next! Also visit my homepage; cs go howl skin for sale
I am genuinely thankful to the owner of this site who
has shared this fantastic article at at this place. My homepage; madden mobile coins free
Hello there! This post could not be written any better! Looking through this article
reminds me of my previous roommate! He always kept preaching about
this. I most certainly will forward this article to him.
Pretty sure he’s going to have a great read.
Many thanks for sharing!
Greetings! Very helpful advice within this post! It’s the little
changes that produce the most significant changes.
Thanks for sharing!
Incredible! This blog looks just like my old one! It’s on a entirely
different subject but it has pretty much the same layout and
design. Outstanding choice of colors! Also visit my homepage … selling cs go skins for cash
I got this web site from my buddy who informed me about this site and now
this time I am browsing this site and reading
very informative content at this place. Review my homepage … mink lash extensions reviews
Very quickly this website will be famous among all
blogging and site-building people, due to it’s fastidious posts Also visit my blog … madden 17 coins cheap (afisz.net.pl)

Оставить отзыв

Жёлтые поля обязательны к заполнению

   

Можете использовать теги <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong> <pre lang=""> <div class=""> <span class=""> <br>