Image Processing

Что же та­кое гид­ро­ди­на­ми­ка? Эн­цик­ло­пе­дия да­ёт сле­дую­щее опре­де­ле­ние [3]:

Гид­ро­ди­на­ми­ка — раз­дел фи­зи­ки сплош­ных сред, изу­чаю­щий дви­же­ние иде­аль­ных и ре­аль­ных жид­ко­сти и га­за. Как и в дру­гих раз­де­лах фи­зи­ки сплош­ных сред, пре­жде все­го осу­ществ­ля­ет­ся пе­ре­ход от ре­аль­ной сре­ды, со­сто­я­щей из боль­шо­го чис­ла от­дель­ных ато­мов или мо­ле­кул, к аб­стракт­ной сплош­ной сре­де, для ко­то­рой и за­пи­сы­ва­ют­ся урав­не­ния дви­же­ния.

Сле­ду­ет об­ра­тить вни­ма­ние на то, что гид­ро­ди­на­ми­ка, не­смот­ря на своё на­зва­ние («гид­ро» — во­да, «ди­на­ми­ка» — дви­же­ние), изу­ча­ет не толь­ко дви­же­ние жид­ко­сти, но и дви­же­ние га­за, хо­тя на пер­вый взгляд меж­ду ни­ми очень мно­го раз­ли­чий.

По­ми­мо гид­ро­ди­на­ми­ки есть ещё гид­ро­ста­ти­ка, изу­чаю­щая рав­но­ве­сие жид­ко­стей. Но она вы­хо­дит за рам­ки этой ста­тьи. К то­му же за­ко­ны гид­ро­ста­ти­ки (за­ко­ны Пас­ка­ля и Ар­хи­ме­да) про­сты и не под­вер­га­ют­ся со­мне­нию.

Не­смот­ря на про­сто­ту за­ко­нов, опи­сы­ваю­щих по­ко­я­щу­ю­ся жид­кость, дви­жу­щая­ся жид­кость дол­гое вре­мя оста­ва­лась (и всё ещё оста­ёт­ся) не­под­вла­ст­на умам учё­ных. Мно­гие ве­ка фи­ло­со­фы пы­та­лись раз­га­дать тай­ны те­че­ния во­ды (са­мой рас­про­стра­нён­ной жид­ко­сти на Зем­ле). Но за­рож­де­ние гид­ро­ди­на­ми­ки как на­у­ки на­ча­лось по­сле от­кры­тия Нью­то­ном сво­их за­ко­нов, ко­то­рые ста­ли от­прав­ной точ­кой для ма­те­ма­ти­че­ско­го опи­са­ния дви­же­ния жид­ко­сти.

Ран­ние по­пыт­ки ис­сле­до­вать те­че­ние жид­ко­сти

О том, как сре­да со­про­тив­ля­ет­ся дви­же­нию те­ла, мож­но узнать, наблю­дая за па­де­ни­ем тел в во­де или в воз­ду­хе. Про­ве­де­ни­ем по­доб­ных опы­тов од­ним из пер­вых за­нял­ся Лео­нар­до да Вин­чи (1452–​1519). Его де­ло про­дол­жил дру­гой «ша­ро­бро­сатель» — Га­ли­лео Га­ли­лей (1564–​1642). Сбра­сы­вая с на­клон­ной Пи­зан­ской баш­ни тя­жё­лые и лёг­кие ша­ры, он уста­но­вил не­за­ви­си­мость ско­ро­сти па­де­ния тя­жё­лых тел от их ве­са и сфор­му­ли­ро­вал один из ве­ли­чай­ших фи­зи­че­ских прин­ци­пов — прин­цип инер­ции.

Бе­не­дет­то Ка­стел­ли (1577–​1644) и Эван­дже­ли­ста Тор­ри­чел­ли (1608–​1647) — двое из уче­ни­ков Га­ли­лея, — по­пы­та­лись при­ме­нить от­кры­тия сво­е­го учи­те­ля для объ­яс­не­ния те­че­ния во­ды.

В 1628 го­ду Ка­стел­ли из­дал ма­лень­кую ра­бо­ту Della misura dell' acque correnti, в ко­то­рой он удо­вле­тво­ри­тель­но для сво­е­го вре­ме­ни объ­яс­нил не­сколь­ко яв­ле­ний при дви­же­нии жид­ко­стей в ре­ках и ка­на­лах; од­на­ко он до­пу­стил ошиб­ку, пред­по­ло­жив, что ско­рость вы­те­каю­щей из со­су­да во­ды про­пор­цио­наль­на глу­би­не рас­по­ло­же­ния от­вер­стия под по­верх­но­стью во­ды в со­су­де.

Тор­ри­чел­ли за­ме­тил, что в фон­та­не, в ко­то­ром во­да вы­те­ка­ла из ма­лень­кой на­сад­ки, она под­ни­ма­лась до по­чти той же са­мой вы­со­ты, что и во­да в бас­сей­не, из ко­то­ро­го она по­да­ва­лась. На ос­но­ве это­го он пред­по­ло­жил, что во­да вы­те­ка­ет с той же ско­ро­стью, ко­то­рую она по­лу­ча­ет при па­де­нии с вы­со­ты её по­верх­но­сти в со­су­де (а па­де­ние пред­ме­тов уже бы­ло изу­че­но Га­ли­ле­ем). Он вы­вел тео­ре­му, со­глас­но ко­то­рой ско­рость вы­те­каю­щей жид­ко­сти про­пор­цио­наль­на квад­рат­но­му кор­ню вы­со­ты во­ды в со­су­де. Эта тео­ре­ма бы­ла из­да­на в 1643 го­ду, в кон­це его трак­та­та De motu gravium projectorum, и бы­ла под­твер­жде­на экс­пе­ри­мен­та­ми Ра­фа­эл­ло Ма­гиот­ти (1597–​1656) на во­де, вы­те­каю­щей из раз­лич­ных на­са­док под раз­лич­ны­ми дав­ле­ни­я­ми (1648).

Тео­ре­ма Тор­ри­чел­ли ис­поль­зо­ва­лась мно­ги­ми по­сле­дую­щи­ми ав­то­ра­ми, осо­бен­но Эд­ме Ма­ри­от­том (1620–​1684), чей Traite du mouvement des eaux, из­дан­ный по­сле его смер­ти в 1686 го­ду, ос­но­ван на боль­шом раз­но­об­ра­зии тща­тель­но про­ве­дён­ных экс­пе­ри­мен­тов с дви­же­ни­ем жид­ко­стей. В об­суж­де­нии не­ко­то­рых из них он до­пу­стил ошиб­ки, ре­зуль­та­ты дру­гих он рас­смат­ри­вал по­верх­ност­но. И он не сде­лал ни од­но­го экс­пе­ри­мен­та для яв­но­го ис­сле­до­ва­ния умень­ше­ния ско­ро­сти вы­те­ка­ния во­ды в ре­зуль­та­те про­хож­де­ния че­рез тон­кую труб­ку. Но он, ка­жет­ся, пер­вый, кто по­пы­тал­ся объ­яс­нить не­со­от­вет­ствие меж­ду тео­ри­ей и экс­пе­ри­мен­том, за­клю­чаю­щее­ся в умень­ше­нии ско­ро­сти во­ды, с по­мо­щью тре­ния. Его со­вре­мен­ник До­ме­ни­ко Гу­льель­ми­ни (1655–​1710), ко­то­рый был ин­спек­то­ром рек и ка­на­лов в Бо­ло­нье, при­пи­сал это умень­ше­ние ско­ро­сти в ре­ках к по­пе­реч­ным те­че­ни­ям, яв­ляю­щим­ся ре­зуль­та­том не­ров­но­стей дна. Но, по­сколь­ку Ма­ри­отт наблю­дал по­доб­ные за­мед­ле­ния дви­же­ния да­же в стек­лян­ных тру­бах, где ни­ка­кие по­пе­реч­ные те­че­ния не су­ще­ство­ва­ли, при­чи­на, на­зна­чен­ная Гу­льель­ми­ни, ка­за­лась Ма­ри­от­ту ли­шен­ной ос­но­ва­ния. По­это­му он рас­це­нил это за­мед­ле­ние, как эф­фект тре­ния. Он пред­по­ло­жил, что ни­ти во­ды, ко­то­рые за­де­ва­ют стен­ки тру­бы, те­ря­ют часть сво­ей ско­ро­сти. Смеж­ные ни­ти, имею­щие бо́льшую ско­рость, трут­ся о преды­ду­щие и пе­ре­но­сят умень­ше­ние ско­ро­сти да­лее к оси тру­бы. Ни­ти за­тро­ну­ты по­доб­ным за­мед­ле­ни­ем ско­ро­сти про­пор­цио­наль­но их рас­стоя­нию от оси тру­бы. Та­ким об­ра­зом, сред­няя ско­рость по­то­ка ста­но­вит­ся мень­ше, и, сле­до­ва­тель­но, ко­ли­че­ство во­ды, вы­те­каю­щей в еди­ни­цу вре­ме­ни, из-за эф­фек­тов тре­ния долж­но быть за­мет­но мень­ше вы­чис­ля­е­мо­го тео­ре­ти­че­ски.

Эф­фек­ты тре­ния и вяз­ко­сти, как при­чи­ны умень­ше­ния ско­ро­сти про­точ­ной во­ды, бы­ли за­ме­че­ны в тру­де Philosophiae Naturalis Principia Mathematica сэ­ра Иса­а­ка Нью­то­на (1643–​1727), ко­то­рый про­лил мно­го све­та на не­сколь­ко вет­вей гид­ро­ди­на­ми­ки. В то вре­мя, ко­гда де­кар­тов­ская тео­рия вих­рей пре­об­ла­да­ла, он на­шел не­об­хо­ди­мым ис­сле­до­вать эту ги­по­те­зу. В хо­де ис­сле­до­ва­ний Нью­тон по­ка­зал, что ско­рость лю­бо­го слоя вих­ря — сред­нее ариф­ме­ти­че­ское меж­ду ско­ро­стя­ми сло­ёв, ко­то­рые при­ле­га­ют к не­му; из это­го сле­до­ва­ло, что ско­рость ни­ти во­ды, пе­ре­ме­щаю­щей­ся в тру­бе, рав­на сред­не­му ариф­ме­ти­че­ско­му ско­ро­стей ни­тей, ко­то­рые окру­жа­ют её. Ис­поль­зуя в сво­их ин­те­ре­сах эти ре­зуль­та­ты, Ан­ри Пи­то (1695–​1771) впо­след­ствии по­ка­зал, что за­мед­ле­ние, яв­ляю­щее­ся ре­зуль­та­том тре­ния, об­рат­но про­пор­цио­наль­но диа­метру труб, в ко­то­рых пе­ре­ме­ща­ет­ся жид­кость.

Вни­ма­ние Нью­то­на бы­ло так­же при­вле­че­но к ис­сле­до­ва­нию вы­те­ка­ния во­ды из от­вер­стия в ос­но­ва­нии со­су­да. Он рас­смот­рел ци­лин­дри­че­ский со­суд, пол­ный во­ды, с ма­лень­ким от­вер­сти­ем в ос­но­ва­нии, из ко­то­ро­го вы­те­ка­ла во­да. Этот со­суд снаб­жал­ся во­дой та­ким об­ра­зом, что все­гда оста­вал­ся на­пол­нен­ным до од­ной и той же вы­со­ты. Он пред­по­ло­жил, что ци­лин­дри­че­ский столб во­ды раз­де­лен на две ча­сти. Пер­вая, ко­то­рую он на­звал «по­то­ком», яв­ля­ет­ся ги­пер­бо­лои­дом вра­ще­ния, ко­то­рый про­хо­дит че­рез от­вер­стие, а вто­рая — оста­ток во­ды в ци­лин­дри­че­ском со­су­де. Он счи­тал, что го­ри­зон­таль­ные слои это­го ги­пер­бо­ло­и­да все­гда в дви­же­нии, в то вре­мя как оста­ток во­ды на­хо­дит­ся в со­стоя­нии по­коя (сво­е­го ро­да по­ток внут­ри жид­ко­сти). В ре­зуль­та­те этой тео­рии Нью­тон по­лу­чил, что ско­рость, с ко­то­рой во­да вы­те­ка­ет из от­вер­стия, рав­на ско­ро­сти, ко­то­рую па­даю­щее те­ло по­лу­чит, па­дая с по­ло­ви­ны вы­со­ты во­ды в бас­сей­не. Это за­клю­че­ние, од­на­ко, аб­со­лют­но про­ти­во­ре­чи­ло из­вест­но­му фак­ту, со­глас­но ко­то­ро­му вы­со­та вод­ной струи рав­на вы­со­те бас­сей­на, и Нью­тон, ка­жет­ся, знал об этом. Со­от­вет­ствен­но, во вто­ром из­да­нии Нача́л, ко­то­рое по­яви­лось в 1713 го­ду, он пе­ре­смот­рел свою тео­рию. Он об­на­ру­жил суже­ние струи, вы­хо­дя­щей из от­вер­стия, и на­шел, что на рас­стоя­нии, при­бли­зи­тель­но рав­ном диа­метру от­вер­стия, се­че­ние струи бы­ло мень­ше в два ра­за. Он рас­це­нил сужен­ное се­че­ние струи, как ис­тин­ное от­вер­стие, че­рез ко­то­рое вы­те­ка­ет во­да из со­су­да. В этом слу­чае ско­рость ис­те­каю­щей во­ды как раз со­от­вет­ству­ет всей вы­со­те во­ды в бас­сей­не. Это озна­ча­ет, что его тео­рия ста­ла бо­лее со­от­вет­ство­вать ре­зуль­та­там опы­та, хо­тя все еще стал­ки­ва­лась с се­рьез­ны­ми воз­ра­же­ни­я­ми. Нью­тон был так­же пер­вым, кто ис­сле­до­вал дви­же­ние волн.

Па­ра­диг­ма Нью­то­на.
Клас­си­че­ская ме­ха­ни­ка

Не­смот­ря на не­уда­чу Нью­то­на в ис­сле­до­ва­нии дви­же­ния жид­ко­сти, его за­ко­ны (все­мир­но­го тя­го­те­ния и три за­ко­на дви­же­ния) со­вер­ши­ли про­рыв в ма­те­ма­ти­че­ском опи­са­нии фи­зи­че­ских объ­ек­тов. Ста­нов­ле­ние ме­ха­ни­ки и фи­зи­ки как точ­ных на­ук на­ча­лось с урав­не­ния Нью­то­на («вто­рой за­кон Нью­то­на»):

(1)

Здесь m — мас­са,  — ско­рость, t — вре­мя,  — си­ла.

Урав­не­ние (1) опи­сы­ва­ет из­ме­не­ние ско­ро­сти ма­те­ри­аль­ной точ­ки (или твёр­до­го те­ла) под дей­стви­ем си­лы. Его мож­но счи­тать ис­ход­ной па­ра­диг­мой всей фи­зи­ки.

Уже че­рез не­сколь­ко лет по­сле пуб­ли­ка­ции Нью­то­ном сво­их На­чал учё­ные за­ме­ти­ли ту про­сто­ту (и ту точ­ность по­лу­чае­мых ре­зуль­та­тов), с ко­то­рой мож­но при­ме­нять за­ко­ны Нью­то­на для опи­са­ния окру­жаю­ще­го ми­ра. Все по­пыт­ки объ­яс­нить дви­же­ние во­ды с это­го мо­мен­та де­ла­лись на ос­но­ве этих за­ко­нов. Од­на­ко, при­ме­нить их к жид­ко­сти ока­за­лось со­всем не про­стым де­лом. Прой­дёт ещё 60 лет, пре­жде чем Эй­лер смо­жет по­лу­чить ана­лог вто­ро­го за­ко­на Нью­то­на для жид­ко­сти.

В 1738 го­ду Да­ни­ил Бер­нул­ли (1700–​1782) из­дал свой труд Hydrodynamica seu de viribus et motibus fluidorum commentarii. Его тео­рия дви­же­ния жид­ко­стей, ос­но­вы ко­то­рой бы­ли сна­ча­ла из­да­ны в его био­гра­фии под на­зва­ни­ем Theoria nova de motu aquarum per canales quocunque fluentes, и со­об­ще­ны в Ака­де­мии Санкт-​Пе­тер­бур­га ещё в 1726 го­ду, бы­ла ос­но­ва­на на двух ги­по­те­зах, ко­то­рые ка­за­лись ему со­от­вет­ствую­щи­ми опыт­ным дан­ным. Он пред­по­ло­жил, что по­верх­ность жид­ко­сти, со­дер­жа­щей­ся в со­су­де и вы­те­каю­щей из от­вер­стия, оста­ет­ся все­гда го­ри­зон­таль­ной. Жид­кую мас­су он пред­ста­вил раз­де­лен­ной на бес­ко­неч­ное чис­ло го­ри­зон­таль­ных сло­ёв рав­но­го объ­ё­ма, ка­саю­щих­ся друг дру­га. Ско­рость опус­ка­ния сло­ёв об­рат­но про­пор­цио­наль­на их ши­ри­не (го­ри­зон­таль­ным се­че­ни­ям со­су­да). Что­бы опре­де­лить го­ри­зон­таль­ное дви­же­ние внут­ри каж­до­го слоя, он ис­поль­зо­вал прин­цип conservatio virium vivarum, и по­лу­чил очень изящ­ные ре­ше­ния. Но, в от­сут­ствии об­щей де­мон­стра­ции этих прин­ци­пов, его ре­зуль­та­ты не по­лу­чи­ли до­ве­рия.

Бы­ло же­ла­тель­но иметь бо­лее об­щую тео­рию, за­ви­ся­щую ис­клю­чи­тель­но от фун­да­мен­таль­ных за­ко­нов ме­ха­ни­ки Нью­то­на. Ко­лин Ма­кло­рен (1698–​1746) и Джон Бер­нул­ли (1667–​1748, не пу­тать с Да­ни­и­лом Бер­нул­ли), ко­то­рые при­дер­жи­ва­лись это­го мне­ния, ре­ши­ли про­бле­му бо­лее пря­мы­ми ме­то­да­ми. Пер­вый — в его Fluxions, из­дан­ных в 1742 го­ду, а вто­рой — в его Hydraulica nunc primum detecta, et demonstrata directe ex fundamentis pure mechanicis (чет­вер­тый том его ра­бот). Ме­тод, ис­поль­зуе­мый Ма­кло­ре­ном, счи­тал­ся не­до­ста­точ­но стро­гим. Ме­тод Джо­на Бер­нул­ли — то­же (по мне­нию Лагран­жа, он стра­дал от не­до­стат­ка чет­ко­сти и точ­но­сти).

Тео­рия Да­ни­и­ла Бер­нул­ли так­же встре­ти­ла со­про­тив­ле­ние в ли­це Жа­на Ле­ро­на Да­лам­бе­ра (1717–​1783), раз­ра­бо­тав­ше­го свою тео­рию. Обоб­щая тео­рию ма­ят­ни­ков Яко­ба Бер­нул­ли (1654–​1705, не пу­тать с Джо­ном Бер­нул­ли и Да­ни­и­лом Бер­нул­ли) он об­на­ру­жил прин­цип ди­на­ми­ки, столь про­стой и об­щий, что он сво­дил за­ко­ны дви­же­ний тел к за­ко­ну их рав­но­ве­сия. Да­лам­бер при­ме­нил этот прин­цип к дви­же­нию жид­ко­стей, дав об­ра­зец его при­ме­не­ния в кон­це его Dynamics в 1743 го­ду. Прин­цип был бо­лее пол­но раз­вит им в Traite des fluides (1744), в ко­то­ром он дал про­стые и изящ­ные ре­ше­ния про­блем, ка­саю­щих­ся рав­но­ве­сия и дви­же­ния жид­ко­стей. Он ис­поль­зо­вал те же ги­по­те­зы, что и Да­ни­ил Бер­нул­ли, хо­тя его ис­чис­ле­ние бы­ло вы­строе­но в со­всем дру­гой ма­не­ре. Он рас­смат­ри­вал в каж­дый мо­мент дви­же­ние слоя жид­ко­сти, как со­став­лен­ное из дви­же­ния, ко­то­рое он имел в преды­ду­щий мо­мент, и дви­же­ния, ко­то­рое он по­те­рял. За­ко­ны рав­но­ве­сия меж­ду по­те­ря­ми дви­же­ния да­ли Бер­нул­ли урав­не­ния, пред­став­ляю­щие урав­не­ния дви­же­ния жид­ко­сти. Оста­ва­лось же­ла­тель­ным вы­ра­зить урав­не­ни­я­ми дви­же­ние ча­сти­цы жид­ко­сти в лю­бом за­дан­ном на­прав­ле­нии. Эти урав­не­ния бы­ли най­де­ны Да­лам­бе­ром из двух прин­ци­пов: 1) пря­мо­уголь­ный ка­нал, вы­де­лен­ный в мас­се жид­ко­сти, на­хо­дя­щей­ся в рав­но­ве­сии, сам на­хо­дит­ся в рав­но­ве­сии, и 2) часть жид­ко­сти, пе­ре­хо­дя­щая из од­но­го ме­ста в дру­гое, со­хра­ня­ет тот же са­мый объ­ем, ко­гда жид­кость не­сжи­ма­е­ма, или из­ме­ня­ет объ­ём, как буд­то она яв­ля­ет­ся упру­гой. Его ост­ро­ум­ный ме­тод, из­дан­ный в 1752 го­ду в Essai sur la resistance des fluides, был до­ве­дён до со­вер­шен­ства в Opuscules mathematiques, и был пе­ре­нят Лео­нар­дом Эй­ле­ром (1707–​1783).

Па­ра­диг­ма Эй­ле­ра.
Сплош­ная сре­да и мо­дель су­хой во­ды

Ре­ше­ние во­про­сов дви­же­ния жид­ко­стей бы­ло про­из­ве­де­но с по­мо­щью ме­то­да ча­ст­ных про­из­вод­ных Эй­ле­ра. Это ис­чис­ле­ние бы­ло впер­вые при­ме­не­но к дви­же­нию во­ды Да­лам­бе­ром, и поз­во­ли­ло ему и Эй­ле­ру пред­ста­вить тео­рию жид­ко­стей в фор­му­ли­ров­ке, не огра­ни­чен­ной ни­ка­ки­ми осо­бы­ми пред­по­ло­же­ни­я­ми. Пре­жде чем пе­рей­ти к этой тео­рии, нам по­на­до­бит­ся по­ня­тие сплош­ной сре­ды [3]:

Сплош­ная сре­да — ме­ха­ни­че­ская си­сте­ма, об­ла­даю­щая бес­ко­неч­ным чис­лом внут­рен­них сте­пе­ней сво­бо­ды. Её дви­же­ние в про­стран­стве, в от­ли­чие от дру­гих ме­ха­ни­че­ских си­стем, опи­сы­ва­ет­ся не ко­ор­ди­на­та­ми и ско­ро­стя­ми от­дель­ных ча­стиц, а ска­ляр­ным по­лем плот­но­сти и век­тор­ным по­лем ско­ро­стей. В за­ви­си­мо­сти от за­дач, к этим по­лям мо­гут до­бав­лять­ся по­ля дру­гих фи­зи­че­ских ве­ли­чин (кон­цен­тра­ция, тем­пе­ра­ту­ра и др.) Ес­ли плот­ность сплош­ной сре­ды по­сту­ли­ру­ет­ся рав­ной кон­стан­те, то та­кая сплош­ная сре­да на­зы­ва­ет­ся не­сжи­ма­е­мой. Од­на­ко с точ­ки зре­ния ма­те­ма­ти­че­ской стро­го­сти сле­ду­ет пом­нить об од­ной не­точ­но­сти: все ре­аль­ные си­сте­мы об­ла­да­ют пусть боль­шим, но ко­неч­ным чис­лом сте­пе­ней сво­бо­ды (на­при­мер, со­сто­ят из ато­мов). Сплош­ная же сре­да об­ла­да­ет не про­сто бес­ко­неч­ным, а не­счет­ным чис­лом сте­пе­ней сво­бо­ды.

Для при­ме­не­ния урав­не­ния Нью­то­на к дви­же­нию сплош­ной сре­ды сле­до­ва­ло пе­рей­ти к опи­са­нию те­че­ния в фик­си­ро­ван­ной точ­ке про­стран­ства, то есть от­не­сти мас­су и си­лу к еди­ни­це объ­ё­ма. Для это­го же по­тре­бо­ва­лось вве­сти суб­стан­цио­наль­ное уско­ре­ние:

(2)

где  — опе­ра­тор на­б­ла.

Смысл это­го вы­ра­же­ния в том, что уско­ре­ние жид­ко­сти в фик­си­ро­ван­ной точ­ке про­стран­ства рав­но сум­ме уско­ре­ния ча­стиц жид­ко­сти и из­ме­не­ний ско­ро­сти, при­но­си­мых те­че­ни­ем из со­сед­них об­ла­стей. Жид­кость те­чёт, и под дей­стви­ем сво­е­го те­че­ния пе­ре­но­сит всё, что в ней на­хо­дит­ся, в том чис­ле и ско­рость сво­е­го те­че­ния. Это труд­но по­нять, но ещё труд­нее бы­ло к это­му прий­ти.

На­ко­нец, пе­ре­ход от от­дель­ных тел к кон­ти­ну­у­му по­тре­бо­вал вме­сто со­сре­до­то­чен­ной в точ­ке си­лы вве­де­ния нор­маль­но­го на­пря­же­ния — дав­ле­ния p. В от­ли­чие от нью­то­но­вой ме­ха­ни­ки ока­за­лось, что на­пря­же­ния не за­да­ны апри­о­ри, а са­мо­воз­ни­ка­ют вслед­ствие дви­же­ния жид­ко­сти.

Эй­лер вы­пол­нил пе­ре­ход к кон­ти­ну­у­му. Вы­ве­ден­ные им в 1755 го­ду урав­не­ния дви­же­ния сплош­ной сре­ды, не по­те­ряв­шие ак­ту­аль­ность и в на­ше вре­мя, так и на­зы­ва­ют­ся — эй­ле­ро­вы­ми:

(3)

Здесь  — плот­ность жид­ко­сти. Эти урав­не­ния опи­сы­ва­ют те­че­ние не­вяз­кой не­сжи­ма­е­мой жид­ко­сти. Та­кую мо­дель иде­аль­ной сплош­ной сре­ды фон Ней­ман об­раз­но и ост­ро­ум­но на­звал «мо­де­лью су­хой во­ды». Она яви­лась пер­вой па­ра­диг­мой гид­ро­ди­на­ми­ки.

По­яс­ню смысл урав­не­ний Эй­ле­ра. Пер­вое урав­не­ние пред­став­ля­ет со­бой ни что иное, как за­кон Нью­то­на (1), вы­пи­сан­ный для «ку­соч­ка жид­ко­сти».  пред­став­ля­ет со­бой мас­су это­го ку­соч­ка,  — его уско­ре­ние (см. фор­му­лу (2)). В пра­вой ча­сти стои́т си­ла, вы­зы­ва­е­мая дав­ле­ни­ем (точ­нее — гра­ди­ен­том дав­ле­ния). Ос­нов­ное от­ли­чие от вто­ро­го за­ко­на Нью­то­на здесь в том, что урав­не­ние опи­сы­ва­ет не толь­ко из­ме­не­ние ско­ро­сти под дей­стви­ем си­лы (дав­ле­ния), но и из­ме­не­ние си­лы (дав­ле­ния) под дей­стви­ем ско­ро­сти: ле­вая и пра­вая ча­сти здесь рав­но­прав­ны. Вто­рое урав­не­ние го­во­рит о по­сто­ян­стве объ­ё­ма «ку­соч­ка жид­ко­сти»: он мо­жет ме­нять свою фор­му, но не мо­жет ме­нять объ­ём; жид­кость не­сжи­ма­е­ма.

Как уже бы­ло ска­за­но, мо­дель «су­хой во­ды» не учи­ты­ва­ет вяз­кость и сжи­ма­е­мость жид­ко­сти. Но ос­нов­ная пре­гра­да, пре­пят­ство­вав­шая её при­ме­не­нию для ши­ро­ко­го кру­га при­клад­ных за­дач, — от­сут­ствие гра­ниц у жид­ко­сти. По­доб­но элек­тро­маг­нит­но­му по­лю те­че­ние за­ни­ма­ет всё про­стран­ство. Гер­ман фон Гельм­гольц (1821–​1894), пы­та­ясь при­ме­нить эй­ле­ро­вы урав­не­ния ко всё той же за­да­че об ис­те­че­нии жид­ко­сти из со­су­да, в 1858 го­ду пред­ло­жил прин­ци­пи­аль­но но­вую схе­му — ис­те­че­ние с от­хо­дя­щи­ми от кра­ёв от­вер­стия раз­ры­ва­ми (гра­ни­ца­ми во­да-​воз­дух). Его схе­ма на­хо­ди­лась в ви­зу­аль­ном со­гла­сии с ис­те­че­ни­ем во­ды из кра­на вплоть до мо­мен­та тур­бу­ли­за­ции и кап­ледроб­ле­ния струи.

Вве­дя по­верх­но­сти раз­ры­ва, Гельм­гольц сде­лал ре­шаю­щий шаг в при­бли­же­нии мо­де­ли иде­аль­ной жид­ко­сти к дей­стви­тель­но­сти. У не­го та­кой по­верх­но­стью бы­ла сво­бод­ная гра­ни­ца, но впо­след­ствии в ка­че­стве по­верх­но­стей раз­ры­вов в гид­ро­ди­на­ми­ке ис­поль­зо­ва­лись вих­ре­вые пе­ле­ны, кон­такт­ные раз­ры­вы и да­же так на­зы­вае­мые силь­ные раз­ры­вы. Вви­ду это­го кон­цеп­ция ку­соч­но-​раз­рыв­но­го те­че­ния иде­аль­ной жид­ко­сти, вы­дви­ну­тая Гельм­голь­цем, су­ще­ствен­но рас­ши­ря­ет мо­дель Эй­ле­ра. Спра­вед­ли­во­сти ра­ди, сле­ду­ет на­пом­нить, что о воз­мож­но­сти су­ще­ство­ва­ния раз­рыв­ных ре­ше­ний впер­вые упо­мя­нул Нью­тон в На­ча­лах, но его рас­суж­де­ния бы­ли оши­боч­ны.

В рам­ках этой па­ра­диг­мы уда­лось раз­ра­бо­тать тео­рию волн на во­де, как в ли­ней­ном, так и в не­ли­ней­ном при­бли­же­ни­ях (Сто­кер, Уи­зем, Лайт­хилл). Ис­то­рия от­кры­тия со­ли­то­на С. Рас­се­лом, Н. Кру­с­ка­лом и М.Д. За­бу­с­ки во­шла во все учеб­ни­ки по не­ли­ней­ной ме­ха­ни­ке.

Дру­гую ветвь раз­ви­тия эй­ле­ро­вой мо­де­ли со­ста­ви­ла ди­на­ми­ка иде­аль­но­го (не­вяз­ко­го и не­теп­ло­про­вод­но­го) га­за. От­ли­чи­тель­ная осо­бен­ность этой тео­рии — не­по­сто­ян­ство плот­но­сти га­за во вре­ме­ни и в про­стран­стве. С уче­том это­го фак­та урав­не­ния (3) при­мут вид:

(4)

По­сколь­ку чис­ло не­за­ви­си­мых пе­ре­мен­ных уве­ли­чи­лось на 1 (до­ба­ви­лась плот­ность), для за­мы­ка­ния си­сте­мы урав­не­ний Эй­ле­ра тре­бу­ет­ся ещё од­но урав­не­ние, в ка­че­стве ко­то­ро­го обыч­но вы­сту­па­ет урав­не­ние со­стоя­ния (обыч­но эм­пи­ри­че­ское), свя­зы­ваю­щее плот­ность, дав­ле­ние и дру­гие ха­рак­те­ри­сти­ки га­за. На­при­мер, урав­не­ние Кла­пей­ро­на–​Мен­де­ле­е­ва:

(5)

где  — мо­ляр­ная мас­са, T — тем­пе­ра­ту­ра, R — уни­вер­саль­ная га­зо­вая по­сто­ян­ная.

Ис­то­рия га­зо­вой ме­ха­ни­ки из­ло­же­на Я.Б. Зель­до­ви­чем. Удар­ную вол­ну от­крыл «на кон­чи­ке пе­ра» Б. Ри­ман в 1876 го­ду. Од­на­ко ги­по­те­зу о су­ще­ство­ва­нии удар­ной вол­ны за­дол­го до не­го, в 1848 го­ду, вы­ска­зал Стокс, но от­ка­зал­ся от нее под влия­ни­ем кри­ти­ки В. Том­со­на и сво­е­го уче­ни­ка лор­да Рэ­лея.

Ди­на­ми­ка вяз­кой жид­ко­сти.
Урав­не­ния На­вье–​Сток­са

Од­ни­ми из ос­нов­ных эле­мен­тов те­че­ния жид­ко­сти яв­ля­ют­ся вих­ри, воз­ни­каю­щие вслед­ствие не­ли­ней­но­сти про­цес­сов дви­же­ния. В ди­на­ми­ке вих­рей раз­ли­чи­мы — но не раз­де­ли­мы — три про­цес­са: рож­де­ние, эво­лю­ция и диф­фу­зия. Мо­дель иде­аль­ной жид­ко­сти (су­хой во­ды) опи­сы­ва­ет эво­лю­цию, ино­гда — рож­де­ние, но ни­ко­гда — диф­фу­зию вих­рей.

Ес­ли бы су­хая во­да су­ще­ство­ва­ла, то, на­лив в ста­кан, мы не смог­ли бы раз­ме­шать её лож­кой. Та­кую во­ду не­воз­мож­но рас­кру­тить: её слои не трут­ся друг о дру­га. При дви­же­нии лож­ки во­да бу­дет рас­хо­дить­ся впе­ре­ди и смы­кать­ся за лож­кой. Да­же вра­щаю­щая­ся пе­ре­го­род­ка, за­ни­маю­щая весь ста­кан от края до края, не со­здаст вра­ще­ние, а лишь бу­дет дви­гать во­ду из сто­ро­ны в сто­ро­ну. И на­обо­рот: вихрь, од­на­ж­ды со­здан­ный в та­кой во­де, бу­дет су­ще­ство­вать веч­но. Его мож­но де­фор­ми­ро­вать, раз­де­лить, но нель­зя оста­но­вить.

Для по­ни­ма­ния про­цес­сов рож­де­ния и дис­си­па­ции вих­рей, а так­же про­цес­сов вза­и­мо­дей­ствия (тре­ния) жид­ко­сти со стен­ка­ми со­су­да, по­на­до­би­лось пе­рей­ти к бо­лее слож­ной мо­де­ли — мо­де­ли «мок­рой во­ды», учи­ты­ваю­щей влия­ние вяз­ко­сти жид­ко­сти [3]:

Вяз­кость — внут­рен­нее тре­ние, свой­ство те­ку­чих тел (жид­ко­стей и га­зов) ока­зы­вать со­про­тив­ле­ние пе­ре­ме­ще­нию од­ной их ча­сти от­но­си­тель­но дру­гой.

Ес­ли па­ра­диг­ма Эй­ле­ра стро­и­лась на спе­ку­ля­тив­ной ос­но­ве, ис­хо­дя из ос­нов­ных прин­ци­пов и по­ня­тий ме­ха­ни­ки, то для по­строе­ния но­вой па­ра­диг­мы по­тре­бо­ва­лись не­ко­то­рые апри­о­ри не­из­ве­ст­ные ха­рак­те­ри­сти­ки свойств рас­смат­ри­ва­е­мой сплош­ной сре­ды: в дан­ном слу­чае — вяз­ко­сти, а в об­щем слу­чае — теп­ло­про­вод­но­сти, сжи­ма­е­мо­сти, вто­рой вяз­ко­сти и так да­лее.

В гид­ро­ди­на­ми­ке име­ют­ся три точ­ных за­ко­на со­хра­не­ния: мас­сы, им­пуль­са и энер­гии. На ос­но­ве этих за­ко­нов (пер­вых прин­ци­пов фи­зи­ки) вы­во­дят­ся урав­не­ния дви­же­ния.

Осталь­ные за­ко­ны — при­бли­жен­ные, эм­пи­ри­че­ские. К ним от­но­сят­ся так на­зы­вае­мые за­ко­ны со­стоя­ния, опре­де­ляю­щие за­ви­си­мость ко­эф­фи­ци­ен­тов пе­ре­но­са от мак­ро­ско­пи­че­ских па­ра­мет­ров: за­ко­ны Кла­пей­ро­на, Фи­ка, Нью­то­на, Дар­си и дру­гие. Эти за­ко­ны со­стоя­ния по­лу­ча­ют­ся в рам­ках ки­не­ти­че­ской тео­рии при изу­че­нии ст­рук­ту­ры сре­ды в мас­шта­бе, мень­шем по по­ряд­ку ве­ли­чи­ны, чем гид­ро­ди­на­ми­че­ский мас­штаб. Го­во­ря дру­ги­ми сло­ва­ми, осред­ня­ют­ся про­ис­хо­дя­щие в сре­де внут­рен­ние фи­зи­ко-​хи­ми­че­ские про­цес­сы по ма­лым (атом­но-​мо­ле­ку­ляр­ным) мас­шта­бам.

Впер­вые урав­не­ния дви­же­ния вяз­кой жид­ко­сти вы­пи­сал фран­цуз­ский учё­ный и ин­же­нер Ан­ри На­вье (1785–​1836). Для это­го по­тре­бо­ва­лось вве­сти тен­зор на­пря­же­ний, то есть учесть не толь­ко нор­маль­ные си­лы (дав­ле­ние), но и ка­са­тель­ные си­лы. В пра­вую часть урав­не­ния (3) На­вье ввёл до­пол­ни­тель­ный член, от­вет­ствен­ный за про­яв­ле­ние вяз­ко­сти. Жид­кость, на­пря­же­ния в ко­то­рой ли­ней­но про­пор­цио­наль­ны де­фор­ма­ции, на­зы­ва­ет­ся нью­то­но­вой, по­то­му что впер­вые та­кая ги­по­те­за бы­ла вы­дви­ну­та Нью­то­ном [2]:

Со­про­тив­ле­ние, про­ис­хо­дя­щее от не­до­стат­ка ско­ль­з­ко­сти жид­ко­сти, при про­чих рав­ных усло­ви­ях пред­по­ла­га­ет­ся про­пор­цио­наль­ным ско­ро­сти, с ко­то­рою ча­сти­цы жид­ко­сти разъ­еди­ня­ют­ся друг с дру­гом.

Се­год­ня мы зна­ем, как по­ни­мать его рас­плыв­ча­тое вы­ра­же­ние «ско­ро­сти, с ко­то­рой…». Это — по­пе­реч­ный гра­ди­ент ско­ро­сти жид­ко­сти. Од­на­ко в кон­крет­ной за­да­че о кру­го­вом дви­же­нии Нью­тон вы­во­дит оши­боч­ное усло­вие для тре­ния, на что спу­стя 158 лет по­сле вы­хо­да его Нача́л ука­зал Джордж Стокс (1819–​1903).

Для нью­то­но­вой жид­ко­сти урав­не­ния со­хра­ни­ли век­тор­ную фор­му:

(6)

Здесь  — ко­эф­фи­ци­ент ки­не­ма­ти­че­ской вяз­ко­сти.

Боль­шой вклад в ис­сле­до­ва­ние это­го урав­не­ния внёс все тот же Стокс. По­это­му урав­не­ния (6), а так­же их обоб­ще­ния на слу­чай дви­же­ния жид­ко­стей с дру­ги­ми свой­ства­ми на­зы­ва­ют­ся урав­не­ни­я­ми На­вье–​Сток­са. Урав­не­ния Эй­ле­ра — ча­ст­ный слу­чай урав­не­ний На­вье–​Сток­са при .

Для за­вер­ше­ния ма­те­ма­ти­че­ской мо­де­ли те­че­ния вяз­кой жид­ко­сти не­до­ста­ва­ло гра­нич­ных усло­вий на по­верх­но­сти кон­так­та жид­ко­сти с твёр­дым те­лом (для су­хой во­ды это бы­ло про­сто: она ско­ль­зи­ла по всем по­верх­но­стям). Та­кой кон­такт (жид­кость — твёр­дое те­ло или газ — твёр­дое те­ло) про­ис­хо­дит в тон­ком при­сте­ноч­ном слое, где сле­ду­ет учи­ты­вать ше­ро­хо­ва­тость и атом­но-​мо­ле­ку­ляр­ную ст­рук­ту­ру сред. Уже Д. Бер­нул­ли в 1738 го­ду осо­зна­вал, что жид­кость не мо­жет ско­ль­зить по по­верх­но­сти твёр­до­го те­ла [2]:

Наблю­да­ют­ся огром­ные раз­ли­чия, глав­ным об­ра­зом, в ча­сти при­ли­па­ния во­ды к стен­кам тру­бы; это при­ли­па­ние за­ве­до­мо мо­жет в не­ко­то­рых слу­ча­ях вы­зы­вать не­ве­ро­ят­ные эф­фек­ты.

Фран­цуз Жи­рар в 1813 го­ду счи­тал, что вбли­зи кон­такт­ной по­верх­но­сти име­ет­ся весь­ма тон­кий слой по­ко­я­щей­ся от­но­си­тель­но те­ла жид­ко­сти.

Вто­рая ги­по­те­за при­над­ле­жа­ла На­вье. На ос­но­ва­нии тех же услож­нён­ных мо­ле­ку­ляр­ных пред­по­ло­же­ний, ко­то­рые при­ве­ли его к вы­во­ду урав­не­ний дви­же­ния вяз­кой жид­ко­сти, он уста­но­вил, что на твёр­дой по­верх­но­сти име­ет ме­сто про­скаль­зы­ва­ние жид­ко­сти, при­чём ско­рость про­скаль­зы­ва­ния  про­пор­цио­наль­на на­пря­же­нию тре­ния, то есть , где по­сто­ян­ная  име­ет раз­мер­ность дли­ны, а диф­фе­рен­ци­ро­ва­ние про­во­дит­ся по на­прав­ле­нию внеш­ней нор­ма­ли к твёр­дой по­верх­но­сти.

На­ко­нец, тре­тью ги­по­те­зу о при­ли­па­нии жид­ко­сти к твёр­дой по­верх­но­сти пер­вым, по-ви­ди­мо­му, вы­дви­нул Ку­лон в 1800 го­ду. В ре­зуль­та­те мно­го­чис­лен­ных опы­тов, а так­же ана­ли­за, про­де­лан­но­го Сток­сом в 1851 го­ду и Макс­вел­лом в 1879 го­ду, бы­ло уста­нов­ле­но, что усло­вие при­ли­па­ния спра­вед­ли­во, ес­ли сре­да не раз­ре­же­на. Вхо­дя­щая в усло­вие На­вье по­сто­ян­ная  по по­ряд­ку ве­ли­чи­ны рав­на дли­не сво­бод­но­го про­бе­га мо­ле­кул га­за. Гид­ро­ди­на­ми­ка не рас­смат­ри­ва­ет яв­ле­ния, про­ис­хо­дя­щие на та­ких ма­лых мас­шта­бах.

В пол­ном ви­де урав­не­ния На­вье–​Сток­са ока­за­лись слиш­ком слож­ны­ми для ре­ше­ния, осо­бен­но в до­ком­пью­тер­ную эпо­ху.

Ре­ши­тель­ное про­дви­же­ние впе­рёд сде­лал Лю­двиг Прандтль (1875–​1953) в 1905 го­ду, пред­ло­жив­ший асимп­то­ти­че­скую кон­цеп­цию по­гра­нич­но­го слоя. В со­от­вет­ствии с этой кон­цеп­ци­ей при ма­лой вяз­ко­сти об­ласть те­че­ния жид­ко­сти мож­но раз­де­лить на две ча­сти: внут­рен­нюю об­ласть, в ко­то­рой вяз­ко­стью мож­но пре­не­бречь, и тон­кую при­гра­нич­ную об­ласть (по­гра­нич­ный слой), в ко­то­рой жид­кость те­чёт па­ра­л­лель­но гра­ни­цам, а ско­рость жид­ко­сти па­да­ет до ну­ля по ме­ре при­бли­же­ния к краю об­ла­сти. На дне по­гра­нич­но­го слоя вы­пол­ня­ет­ся усло­вие при­ли­па­ния, а на его внеш­ней гра­ни­це ре­ше­ние сра­щи­ва­ет­ся с не­вяз­ким внут­рен­ним пре­де­лом. Кро­ме то­го, дав­ле­ние в по­гра­нич­ном слое ока­зы­ва­ет­ся из­ве­ст­ным и рав­ным дав­ле­нию во внеш­нем по­то­ке. Этот факт сни­жа­ет на 1 чис­ло не­из­ве­ст­ных функ­ций, а зна­чит, и чис­ло урав­не­ний. Сам Прандтль глав­ную идею вы­ра­зил та­ки­ми сло­ва­ми [2]:

По­ток раз­де­ля­ет­ся на две ча­сти, вза­и­мо­дей­ствую­щие друг с дру­гом; с од­ной сто­ро­ны, мы име­ем «сво­бод­ный по­ток», ко­то­рый мож­но рас­смат­ри­вать как не имею­щий тре­ния, со­глас­но тео­ре­мам Гельм­голь­ца о вих­рях, и, с дру­гой сто­ро­ны, по­гра­нич­ные слои око­ло твёр­дых сте­нок. Дви­же­ние этих сло­ёв ре­гу­ли­ру­ет­ся сво­бод­ной жид­ко­стью, но эти слои при­да­ют, в свою оче­редь, сво­бод­ной жид­ко­сти её ос­нов­ные свой­ства пу­тём вы­де­ле­ния вих­ре­вых по­верх­но­стей.

О на­ли­чии при­сте­ноч­но­го по­гра­нич­но­го слоя бы­ло из­вест­но за­дол­го до Прандт­ля. По­это­му не Прандтль от­крыл по­гра­нич­ный слой. Но он сде­лал боль­шее, по­ка­зав, что по­ня­тие по­гра­нич­но­го слоя — асимп­то­ти­че­ское, что раз­ло­же­ние в по­гра­нич­ном слое сра­щи­ва­ет­ся с внеш­ним ре­ше­ни­ем. Кон­цеп­ция Прандт­ля, су­ще­ствен­но упро­щаю­щая мо­дель вяз­кой жид­ко­сти, от­кры­ла путь к ре­ше­нию при­клад­ных за­дач. Прандтль со­здал мощ­ную на­уч­ную шко­лу: Ж. Ак­ке­рет, А. Бетц, А. Бу­зе­ман, М. Мунк, В. Тол­мин, И.И. Ни­ку­рад­зе, Х. Шлих­тинг и дру­гие.