Ис­то­рия гид­ро­ди­на­ми­ки

Что же та­кое гид­ро­ди­на­ми­ка? Эн­цик­ло­пе­дия да­ёт сле­дую­щее опре­де­ле­ние [3]:

Гид­ро­ди­на­ми­ка — раз­дел фи­зи­ки сплош­ных сред, изу­чаю­щий дви­же­ние иде­аль­ных и ре­аль­ных жид­ко­сти и га­за. Как и в дру­гих раз­де­лах фи­зи­ки сплош­ных сред, пре­жде все­го осу­ществ­ля­ет­ся пе­ре­ход от ре­аль­ной сре­ды, со­сто­я­щей из боль­шо­го чис­ла от­дель­ных ато­мов или мо­ле­кул, к аб­стракт­ной сплош­ной сре­де, для ко­то­рой и за­пи­сы­ва­ют­ся урав­не­ния дви­же­ния.

Сле­ду­ет об­ра­тить вни­ма­ние на то, что гид­ро­ди­на­ми­ка, не­смот­ря на своё на­зва­ние («гид­ро» — во­да, «ди­на­ми­ка» — дви­же­ние), изу­ча­ет не толь­ко дви­же­ние жид­ко­сти, но и дви­же­ние га­за, хо­тя на пер­вый взгляд меж­ду ни­ми очень мно­го раз­ли­чий.

По­ми­мо гид­ро­ди­на­ми­ки есть ещё гид­ро­ста­ти­ка, изу­чаю­щая рав­но­ве­сие жид­ко­стей. Но она вы­хо­дит за рам­ки этой ста­тьи. К то­му же за­ко­ны гид­ро­ста­ти­ки (за­ко­ны Пас­ка­ля и Ар­хи­ме­да) про­сты и не под­вер­га­ют­ся со­мне­нию.

Не­смот­ря на про­сто­ту за­ко­нов, опи­сы­ваю­щих по­ко­я­щу­ю­ся жид­кость, дви­жу­щая­ся жид­кость дол­гое вре­мя оста­ва­лась (и всё ещё оста­ёт­ся) не­под­вла­ст­на умам учё­ных. Мно­гие ве­ка фи­ло­со­фы пы­та­лись раз­га­дать тай­ны те­че­ния во­ды (са­мой рас­про­стра­нён­ной жид­ко­сти на Зем­ле). Но за­рож­де­ние гид­ро­ди­на­ми­ки как на­у­ки на­ча­лось по­сле от­кры­тия Нью­то­ном сво­их за­ко­нов, ко­то­рые ста­ли от­прав­ной точ­кой для ма­те­ма­ти­че­ско­го опи­са­ния дви­же­ния жид­ко­сти.

Ран­ние по­пыт­ки ис­сле­до­вать те­че­ние жид­ко­сти

О том, как сре­да со­про­тив­ля­ет­ся дви­же­нию те­ла, мож­но узнать, наблю­дая за па­де­ни­ем тел в во­де или в воз­ду­хе. Про­ве­де­ни­ем по­доб­ных опы­тов од­ним из пер­вых за­нял­ся Лео­нар­до да Вин­чи (1452–​1519). Его де­ло про­дол­жил дру­гой «ша­ро­бро­сатель» — Га­ли­лео Га­ли­лей (1564–​1642). Сбра­сы­вая с на­клон­ной Пи­зан­ской баш­ни тя­жё­лые и лёг­кие ша­ры, он уста­но­вил не­за­ви­си­мость ско­ро­сти па­де­ния тя­жё­лых тел от их ве­са и сфор­му­ли­ро­вал один из ве­ли­чай­ших фи­зи­че­ских прин­ци­пов — прин­цип инер­ции.

Бе­не­дет­то Ка­стел­ли (1577–​1644) и Эван­дже­ли­ста Тор­ри­чел­ли (1608–​1647) — двое из уче­ни­ков Га­ли­лея, — по­пы­та­лись при­ме­нить от­кры­тия сво­е­го учи­те­ля для объ­яс­не­ния те­че­ния во­ды.

В 1628 го­ду Ка­стел­ли из­дал ма­лень­кую ра­бо­ту Della misura dell' acque correnti, в ко­то­рой он удо­вле­тво­ри­тель­но для сво­е­го вре­ме­ни объ­яс­нил не­сколь­ко яв­ле­ний при дви­же­нии жид­ко­стей в ре­ках и ка­на­лах; од­на­ко он до­пу­стил ошиб­ку, пред­по­ло­жив, что ско­рость вы­те­каю­щей из со­су­да во­ды про­пор­цио­наль­на глу­би­не рас­по­ло­же­ния от­вер­стия под по­верх­но­стью во­ды в со­су­де.

Тор­ри­чел­ли за­ме­тил, что в фон­та­не, в ко­то­ром во­да вы­те­ка­ла из ма­лень­кой на­сад­ки, она под­ни­ма­лась до по­чти той же са­мой вы­со­ты, что и во­да в бас­сей­не, из ко­то­ро­го она по­да­ва­лась. На ос­но­ве это­го он пред­по­ло­жил, что во­да вы­те­ка­ет с той же ско­ро­стью, ко­то­рую она по­лу­ча­ет при па­де­нии с вы­со­ты её по­верх­но­сти в со­су­де (а па­де­ние пред­ме­тов уже бы­ло изу­че­но Га­ли­ле­ем). Он вы­вел тео­ре­му, со­глас­но ко­то­рой ско­рость вы­те­каю­щей жид­ко­сти про­пор­цио­наль­на квад­рат­но­му кор­ню вы­со­ты во­ды в со­су­де. Эта тео­ре­ма бы­ла из­да­на в 1643 го­ду, в кон­це его трак­та­та De motu gravium projectorum, и бы­ла под­твер­жде­на экс­пе­ри­мен­та­ми Ра­фа­эл­ло Ма­гиот­ти (1597–​1656) на во­де, вы­те­каю­щей из раз­лич­ных на­са­док под раз­лич­ны­ми дав­ле­ни­я­ми (1648).

Галилео Галилей

Га­ли­лео Га­ли­лей (Ga­li­leo Ga­li­lei; 1564–​1642) — ита­льян­ский фи­ло­соф, фи­зик и аст­ро­ном, ока­зав­ший зна­чи­тель­ное влия­ние на на­у­ку сво­е­го вре­ме­ни. Га­ли­лей в ос­нов­ном из­ве­с­тен сво­и­ми наблю­де­ни­я­ми пла­нет и звёзд, ак­тив­ной под­держ­кой ге­лио­цен­три­че­ской си­сте­мы ми­ра и экс­пе­ри­мен­та­ми по ме­ха­ни­ке. По­дроб­нее

Тео­ре­ма Тор­ри­чел­ли ис­поль­зо­ва­лась мно­ги­ми по­сле­дую­щи­ми ав­то­ра­ми, осо­бен­но Эд­ме Ма­ри­от­том (1620–​1684), чей Traite du mouvement des eaux, из­дан­ный по­сле его смер­ти в 1686 го­ду, ос­но­ван на боль­шом раз­но­об­ра­зии тща­тель­но про­ве­дён­ных экс­пе­ри­мен­тов с дви­же­ни­ем жид­ко­стей. В об­суж­де­нии не­ко­то­рых из них он до­пу­стил ошиб­ки, ре­зуль­та­ты дру­гих он рас­смат­ри­вал по­верх­ност­но. И он не сде­лал ни од­но­го экс­пе­ри­мен­та для яв­но­го ис­сле­до­ва­ния умень­ше­ния ско­ро­сти вы­те­ка­ния во­ды в ре­зуль­та­те про­хож­де­ния че­рез тон­кую труб­ку. Но он, ка­жет­ся, пер­вый, кто по­пы­тал­ся объ­яс­нить не­со­от­вет­ствие меж­ду тео­ри­ей и экс­пе­ри­мен­том, за­клю­чаю­щее­ся в умень­ше­нии ско­ро­сти во­ды, с по­мо­щью тре­ния. Его со­вре­мен­ник До­ме­ни­ко Гу­льель­ми­ни (1655–​1710), ко­то­рый был ин­спек­то­ром рек и ка­на­лов в Бо­ло­нье, при­пи­сал это умень­ше­ние ско­ро­сти в ре­ках к по­пе­реч­ным те­че­ни­ям, яв­ляю­щим­ся ре­зуль­та­том не­ров­но­стей дна. Но, по­сколь­ку Ма­ри­отт наблю­дал по­доб­ные за­мед­ле­ния дви­же­ния да­же в стек­лян­ных тру­бах, где ни­ка­кие по­пе­реч­ные те­че­ния не су­ще­ство­ва­ли, при­чи­на, на­зна­чен­ная Гу­льель­ми­ни, ка­за­лась Ма­ри­от­ту ли­шен­ной ос­но­ва­ния. По­это­му он рас­це­нил это за­мед­ле­ние, как эф­фект тре­ния. Он пред­по­ло­жил, что ни­ти во­ды, ко­то­рые за­де­ва­ют стен­ки тру­бы, те­ря­ют часть сво­ей ско­ро­сти. Смеж­ные ни­ти, имею­щие бо́льшую ско­рость, трут­ся о преды­ду­щие и пе­ре­но­сят умень­ше­ние ско­ро­сти да­лее к оси тру­бы. Ни­ти за­тро­ну­ты по­доб­ным за­мед­ле­ни­ем ско­ро­сти про­пор­цио­наль­но их рас­стоя­нию от оси тру­бы. Та­ким об­ра­зом, сред­няя ско­рость по­то­ка ста­но­вит­ся мень­ше, и, сле­до­ва­тель­но, ко­ли­че­ство во­ды, вы­те­каю­щей в еди­ни­цу вре­ме­ни, из-за эф­фек­тов тре­ния долж­но быть за­мет­но мень­ше вы­чис­ля­е­мо­го тео­ре­ти­че­ски.

Эван­дже­ли­ста Тор­ри­чел­ли

Эван­дже­ли­ста Тор­ри­чел­ли (Evan­ge­lis­ta Tor­ri­cel­li; 1608–​1647) — ита­льян­ский фи­зик и ма­те­ма­тик. Ро­дил­ся в Фа­эн­це. В 1627 г. при­е­хал в Рим, где изу­чал ма­те­ма­ти­ку под ру­ко­вод­ством Б. Ка­стел­ли, дру­га и уче­ни­ка Га­ли­лео Га­ли­лея. Под впе­чат­ле­ни­ем тру­дов Га­ли­лея о дви­же­нии на­пи­сал соб­ствен­ное со­чи­не­ние на ту же те­му под на­зва­ни­ем Trat­tato del moto (1640 г.). В 1641 г. пе­ре­ехал в Ар­чет­ри, где стал уче­ни­ком и сек­ре­та­рем Га­ли­лея, а поз­же его пре­ем­ни­ком на ка­фед­ре ма­те­ма­ти­ки и фи­ло­со­фии Фло­рен­тий­ско­го уни­вер­си­те­та. По­дроб­нее

Эф­фек­ты тре­ния и вяз­ко­сти, как при­чи­ны умень­ше­ния ско­ро­сти про­точ­ной во­ды, бы­ли за­ме­че­ны в тру­де Philosophiae Naturalis Principia Mathematica сэ­ра Иса­а­ка Нью­то­на (1643–​1727), ко­то­рый про­лил мно­го све­та на не­сколь­ко вет­вей гид­ро­ди­на­ми­ки. В то вре­мя, ко­гда де­кар­тов­ская тео­рия вих­рей пре­об­ла­да­ла, он на­шел не­об­хо­ди­мым ис­сле­до­вать эту ги­по­те­зу. В хо­де ис­сле­до­ва­ний Нью­тон по­ка­зал, что ско­рость лю­бо­го слоя вих­ря — сред­нее ариф­ме­ти­че­ское меж­ду ско­ро­стя­ми сло­ёв, ко­то­рые при­ле­га­ют к не­му; из это­го сле­до­ва­ло, что ско­рость ни­ти во­ды, пе­ре­ме­щаю­щей­ся в тру­бе, рав­на сред­не­му ариф­ме­ти­че­ско­му ско­ро­стей ни­тей, ко­то­рые окру­жа­ют её. Ис­поль­зуя в сво­их ин­те­ре­сах эти ре­зуль­та­ты, Ан­ри Пи­то (1695–​1771) впо­след­ствии по­ка­зал, что за­мед­ле­ние, яв­ляю­щее­ся ре­зуль­та­том тре­ния, об­рат­но про­пор­цио­наль­но диа­метру труб, в ко­то­рых пе­ре­ме­ща­ет­ся жид­кость.

Вни­ма­ние Нью­то­на бы­ло так­же при­вле­че­но к ис­сле­до­ва­нию вы­те­ка­ния во­ды из от­вер­стия в ос­но­ва­нии со­су­да. Он рас­смот­рел ци­лин­дри­че­ский со­суд, пол­ный во­ды, с ма­лень­ким от­вер­сти­ем в ос­но­ва­нии, из ко­то­ро­го вы­те­ка­ла во­да. Этот со­суд снаб­жал­ся во­дой та­ким об­ра­зом, что все­гда оста­вал­ся на­пол­нен­ным до од­ной и той же вы­со­ты. Он пред­по­ло­жил, что ци­лин­дри­че­ский столб во­ды раз­де­лен на две ча­сти. Пер­вая, ко­то­рую он на­звал «по­то­ком», яв­ля­ет­ся ги­пер­бо­лои­дом вра­ще­ния, ко­то­рый про­хо­дит че­рез от­вер­стие, а вто­рая — оста­ток во­ды в ци­лин­дри­че­ском со­су­де. Он счи­тал, что го­ри­зон­таль­ные слои это­го ги­пер­бо­ло­и­да все­гда в дви­же­нии, в то вре­мя как оста­ток во­ды на­хо­дит­ся в со­стоя­нии по­коя (сво­е­го ро­да по­ток внут­ри жид­ко­сти). В ре­зуль­та­те этой тео­рии Нью­тон по­лу­чил, что ско­рость, с ко­то­рой во­да вы­те­ка­ет из от­вер­стия, рав­на ско­ро­сти, ко­то­рую па­даю­щее те­ло по­лу­чит, па­дая с по­ло­ви­ны вы­со­ты во­ды в бас­сей­не. Это за­клю­че­ние, од­на­ко, аб­со­лют­но про­ти­во­ре­чи­ло из­вест­но­му фак­ту, со­глас­но ко­то­ро­му вы­со­та вод­ной струи рав­на вы­со­те бас­сей­на, и Нью­тон, ка­жет­ся, знал об этом. Со­от­вет­ствен­но, во вто­ром из­да­нии Нача́л, ко­то­рое по­яви­лось в 1713 го­ду, он пе­ре­смот­рел свою тео­рию. Он об­на­ру­жил суже­ние струи, вы­хо­дя­щей из от­вер­стия, и на­шел, что на рас­стоя­нии, при­бли­зи­тель­но рав­ном диа­метру от­вер­стия, се­че­ние струи бы­ло мень­ше в два ра­за. Он рас­це­нил сужен­ное се­че­ние струи, как ис­тин­ное от­вер­стие, че­рез ко­то­рое вы­те­ка­ет во­да из со­су­да. В этом слу­чае ско­рость ис­те­каю­щей во­ды как раз со­от­вет­ству­ет всей вы­со­те во­ды в бас­сей­не. Это озна­ча­ет, что его тео­рия ста­ла бо­лее со­от­вет­ство­вать ре­зуль­та­там опы­та, хо­тя все еще стал­ки­ва­лась с се­рьез­ны­ми воз­ра­же­ни­я­ми. Нью­тон был так­же пер­вым, кто ис­сле­до­вал дви­же­ние волн.

Эд­ме Ма­ри­отт

Фи­зик и ме­ха­ник Эд­ме Ма­ри­отт (Edme Mariotte, 1620–​1684) ро­дил­ся в г. Ди­жо­не (Фран­ция) и был на­сто­я­те­лем мо­на­сты­ря св. Мар­ти­на вбли­зи Ди­жо­на. Про­ек­ти­руя во­до­снаб­же­ние Вер­саль­ско­го двор­ца, Ма­ри­отт за­ин­те­ре­со­вал­ся проч­но­стью ма­те­ри­а­лов. В ре­зуль­та­те ис­пы­та­ния де­ре­вян­ных и стек­лян­ных стерж­ней на рас­тя­же­ние и из­гиб он уста­но­вил за­кон пря­мой про­пор­цио­наль­но­сти меж­ду пе­ре­ме­ще­ни­я­ми и при­ло­жен­ны­ми си­ла­ми, по-ви­ди­мо­му, ра­нее от­кры­тый Р. Гу­ком. Кро­ме то­го, Ма­ри­отт вплот­ную по­до­шел к ре­ше­нию за­да­чи из­ги­ба кон­соль­ной бал­ки пря­мо­уголь­но­го по­пе­реч­но­го се­че­ния, и толь­ко до­сад­ная ошиб­ка не поз­во­ли­ла ему вы­ве­сти пра­виль­ную фор­му­лу для раз­ру­шаю­щей си­лы. Эти ис­сле­до­ва­ния Ма­ри­от­та из­ло­же­ны в его со­чи­не­нии, по­свя­щен­ном, в ос­нов­ном, дви­же­нию жид­ко­стей. Он так­же обоб­щил ре­зуль­та­ты ис­сле­до­ва­ний со­уда­ре­ния упру­гих тел и ко­ле­ба­ний ма­ят­ни­ка и изоб­рел бал­ли­сти­че­ский ма­ят­ник. По­дроб­нее

Па­ра­диг­ма Нью­то­на.
Клас­си­че­ская ме­ха­ни­ка

Не­смот­ря на не­уда­чу Нью­то­на в ис­сле­до­ва­нии дви­же­ния жид­ко­сти, его за­ко­ны (все­мир­но­го тя­го­те­ния и три за­ко­на дви­же­ния) со­вер­ши­ли про­рыв в ма­те­ма­ти­че­ском опи­са­нии фи­зи­че­ских объ­ек­тов. Ста­нов­ле­ние ме­ха­ни­ки и фи­зи­ки как точ­ных на­ук на­ча­лось с урав­не­ния Нью­то­на («вто­рой за­кон Нью­то­на»):

m\frac{d\vec{u}}{dt}=\vec{f}.
(1)

Здесь m — мас­са, \vec{u} — ско­рость, t — вре­мя, \vec{f} — си­ла.

Урав­не­ние (1) опи­сы­ва­ет из­ме­не­ние ско­ро­сти ма­те­ри­аль­ной точ­ки (или твёр­до­го те­ла) под дей­стви­ем си­лы. Его мож­но счи­тать ис­ход­ной па­ра­диг­мой всей фи­зи­ки.

Уже че­рез не­сколь­ко лет по­сле пуб­ли­ка­ции Нью­то­ном сво­их На­чал учё­ные за­ме­ти­ли ту про­сто­ту (и ту точ­ность по­лу­чае­мых ре­зуль­та­тов), с ко­то­рой мож­но при­ме­нять за­ко­ны Нью­то­на для опи­са­ния окру­жаю­ще­го ми­ра. Все по­пыт­ки объ­яс­нить дви­же­ние во­ды с это­го мо­мен­та де­ла­лись на ос­но­ве этих за­ко­нов. Од­на­ко, при­ме­нить их к жид­ко­сти ока­за­лось со­всем не про­стым де­лом. Прой­дёт ещё 60 лет, пре­жде чем Эй­лер смо­жет по­лу­чить ана­лог вто­ро­го за­ко­на Нью­то­на для жид­ко­сти.

В 1738 го­ду Да­ни­ил Бер­нул­ли (1700–​1782) из­дал свой труд Hydrodynamica seu de viribus et motibus fluidorum commentarii. Его тео­рия дви­же­ния жид­ко­стей, ос­но­вы ко­то­рой бы­ли сна­ча­ла из­да­ны в его био­гра­фии под на­зва­ни­ем Theoria nova de motu aquarum per canales quocunque fluentes, и со­об­ще­ны в Ака­де­мии Санкт-​Пе­тер­бур­га ещё в 1726 го­ду, бы­ла ос­но­ва­на на двух ги­по­те­зах, ко­то­рые ка­за­лись ему со­от­вет­ствую­щи­ми опыт­ным дан­ным. Он пред­по­ло­жил, что по­верх­ность жид­ко­сти, со­дер­жа­щей­ся в со­су­де и вы­те­каю­щей из от­вер­стия, оста­ет­ся все­гда го­ри­зон­таль­ной. Жид­кую мас­су он пред­ста­вил раз­де­лен­ной на бес­ко­неч­ное чис­ло го­ри­зон­таль­ных сло­ёв рав­но­го объ­ё­ма, ка­саю­щих­ся друг дру­га. Ско­рость опус­ка­ния сло­ёв об­рат­но про­пор­цио­наль­на их ши­ри­не (го­ри­зон­таль­ным се­че­ни­ям со­су­да). Что­бы опре­де­лить го­ри­зон­таль­ное дви­же­ние внут­ри каж­до­го слоя, он ис­поль­зо­вал прин­цип conservatio virium vivarum, и по­лу­чил очень изящ­ные ре­ше­ния. Но, в от­сут­ствии об­щей де­мон­стра­ции этих прин­ци­пов, его ре­зуль­та­ты не по­лу­чи­ли до­ве­рия.

Бы­ло же­ла­тель­но иметь бо­лее об­щую тео­рию, за­ви­ся­щую ис­клю­чи­тель­но от фун­да­мен­таль­ных за­ко­нов ме­ха­ни­ки Нью­то­на. Ко­лин Ма­кло­рен (1698–​1746) и Джон Бер­нул­ли (1667–​1748, не пу­тать с Да­ни­и­лом Бер­нул­ли), ко­то­рые при­дер­жи­ва­лись это­го мне­ния, ре­ши­ли про­бле­му бо­лее пря­мы­ми ме­то­да­ми. Пер­вый — в его Fluxions, из­дан­ных в 1742 го­ду, а вто­рой — в его Hydraulica nunc primum detecta, et demonstrata directe ex fundamentis pure mechanicis (чет­вер­тый том его ра­бот). Ме­тод, ис­поль­зуе­мый Ма­кло­ре­ном, счи­тал­ся не­до­ста­точ­но стро­гим. Ме­тод Джо­на Бер­нул­ли — то­же (по мне­нию Лагран­жа, он стра­дал от не­до­стат­ка чет­ко­сти и точ­но­сти).

Сэр Иса­ак Нью­тон

Сэр Иса­ак Нью­тон (Sir Isaac Newton, 1643–​1727) — ан­глий­ский фи­зик, ма­те­ма­тик, аст­ро­ном, фи­ло­соф, тео­лог и ал­хи­мик; ав­тор ра­бо­ты Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687 г.), в ко­то­рой он опи­сал за­кон все­мир­но­го тя­го­те­ния и т. н. За­ко­ны Нью­то­на, за­ло­жив­шие ос­но­вы клас­си­че­ской ме­ха­ни­ки. Вме­сте с Г.В. Лейб­ни­цем счи­та­ет­ся ос­но­во­по­лож­ни­ком диф­фе­рен­ци­аль­но­го ис­чис­ле­ния. По­дроб­нее

Тео­рия Да­ни­и­ла Бер­нул­ли так­же встре­ти­ла со­про­тив­ле­ние в ли­це Жа­на Ле­ро­на Да­лам­бе­ра (1717–​1783), раз­ра­бо­тав­ше­го свою тео­рию. Обоб­щая тео­рию ма­ят­ни­ков Яко­ба Бер­нул­ли (1654–​1705, не пу­тать с Джо­ном Бер­нул­ли и Да­ни­и­лом Бер­нул­ли) он об­на­ру­жил прин­цип ди­на­ми­ки, столь про­стой и об­щий, что он сво­дил за­ко­ны дви­же­ний тел к за­ко­ну их рав­но­ве­сия. Да­лам­бер при­ме­нил этот прин­цип к дви­же­нию жид­ко­стей, дав об­ра­зец его при­ме­не­ния в кон­це его Dynamics в 1743 го­ду. Прин­цип был бо­лее пол­но раз­вит им в Traite des fluides (1744), в ко­то­ром он дал про­стые и изящ­ные ре­ше­ния про­блем, ка­саю­щих­ся рав­но­ве­сия и дви­же­ния жид­ко­стей. Он ис­поль­зо­вал те же ги­по­те­зы, что и Да­ни­ил Бер­нул­ли, хо­тя его ис­чис­ле­ние бы­ло вы­строе­но в со­всем дру­гой ма­не­ре. Он рас­смат­ри­вал в каж­дый мо­мент дви­же­ние слоя жид­ко­сти, как со­став­лен­ное из дви­же­ния, ко­то­рое он имел в преды­ду­щий мо­мент, и дви­же­ния, ко­то­рое он по­те­рял. За­ко­ны рав­но­ве­сия меж­ду по­те­ря­ми дви­же­ния да­ли Бер­нул­ли урав­не­ния, пред­став­ляю­щие урав­не­ния дви­же­ния жид­ко­сти. Оста­ва­лось же­ла­тель­ным вы­ра­зить урав­не­ни­я­ми дви­же­ние ча­сти­цы жид­ко­сти в лю­бом за­дан­ном на­прав­ле­нии. Эти урав­не­ния бы­ли най­де­ны Да­лам­бе­ром из двух прин­ци­пов: 1) пря­мо­уголь­ный ка­нал, вы­де­лен­ный в мас­се жид­ко­сти, на­хо­дя­щей­ся в рав­но­ве­сии, сам на­хо­дит­ся в рав­но­ве­сии, и 2) часть жид­ко­сти, пе­ре­хо­дя­щая из од­но­го ме­ста в дру­гое, со­хра­ня­ет тот же са­мый объ­ем, ко­гда жид­кость не­сжи­ма­е­ма, или из­ме­ня­ет объ­ём, как буд­то она яв­ля­ет­ся упру­гой. Его ост­ро­ум­ный ме­тод, из­дан­ный в 1752 го­ду в Essai sur la resistance des fluides, был до­ве­дён до со­вер­шен­ства в Opuscules mathematiques, и был пе­ре­нят Лео­нар­дом Эй­ле­ром (1707–​1783).

Па­ра­диг­ма Эй­ле­ра.
Сплош­ная сре­да и мо­дель су­хой во­ды

Ре­ше­ние во­про­сов дви­же­ния жид­ко­стей бы­ло про­из­ве­де­но с по­мо­щью ме­то­да ча­ст­ных про­из­вод­ных Эй­ле­ра. Это ис­чис­ле­ние бы­ло впер­вые при­ме­не­но к дви­же­нию во­ды Да­лам­бе­ром, и поз­во­ли­ло ему и Эй­ле­ру пред­ста­вить тео­рию жид­ко­стей в фор­му­ли­ров­ке, не огра­ни­чен­ной ни­ка­ки­ми осо­бы­ми пред­по­ло­же­ни­я­ми. Пре­жде чем пе­рей­ти к этой тео­рии, нам по­на­до­бит­ся по­ня­тие сплош­ной сре­ды [3]:

Од­ним из са­мых успеш­ных ис­сле­до­ва­те­лей в на­у­ке гид­ро­ди­на­ми­ки в этот пе­ри­од был фран­цуз­ский ин­же­нер Пьер Луи Ге­орг Дю­буа (Du Buat Pierre-​Louis-​Georges; 1734–​1809). Пой­дя по сле­дам Эб­би Чарль­за Бас­се­та (Nouvelles Experiences sur la resistance des fluides, 1777 г.), он из­дал в 1786 г. ис­прав­лен­ное из­да­ние сво­их Prin­cipes d'hyd­raulique, ко­то­рые со­дер­жат удо­вле­тво­ри­тель­ную тео­рию дви­же­ния жид­ко­стей, ос­но­ван­ную ис­клю­чи­тель­но на экс­пе­ри­мен­тах. Дю­буа по­ла­гал, что, ес­ли бы во­да бы­ла иде­аль­ной жид­ко­стью, и ка­на­лы, по ко­то­рым она те­чёт, бы­ли бы бес­ко­неч­но глад­ки­ми, то бы её дви­же­ние не­пре­рыв­но уско­ря­лось, как у тел, спус­каю­щих­ся по на­клон­ной плос­ко­сти. Но по­сколь­ку дви­же­ние рек не уско­ря­ет­ся по­сто­ян­но, и ско­ро до­сти­га­ет со­стоя­ния од­но­род­но­сти, оче­вид­но, что вяз­кость во­ды и тре­ние о дно ка­на­ла долж­ны рав­нять­ся уско­ряю­щей си­ле. Дю­буа при­ни­мал это как фун­да­мен­таль­ное суж­де­ние: ко­гда во­да те­чет в лю­бом ка­на­ле или рус­ле, уско­ряю­щая си­ла, ко­то­рая за­став­ля­ет во­ду дви­гать­ся, рав­на сум­ме всех со­про­тив­ле­ний, с ко­то­ры­ми во­да встре­ча­ет­ся, не­за­ви­си­мо от то­го, яв­ля­ют­ся ли они ре­зуль­та­том ее соб­ствен­ной вяз­ко­сти или тре­ния об её дно. Этот прин­цип ис­поль­зо­вал­ся им в пер­вой ре­дак­ции его ра­бо­ты, ко­то­рая по­яви­лась в 1779 г. По­дроб­нее

Сплош­ная сре­да — ме­ха­ни­че­ская си­сте­ма, об­ла­даю­щая бес­ко­неч­ным чис­лом внут­рен­них сте­пе­ней сво­бо­ды. Её дви­же­ние в про­стран­стве, в от­ли­чие от дру­гих ме­ха­ни­че­ских си­стем, опи­сы­ва­ет­ся не ко­ор­ди­на­та­ми и ско­ро­стя­ми от­дель­ных ча­стиц, а ска­ляр­ным по­лем плот­но­сти и век­тор­ным по­лем ско­ро­стей. В за­ви­си­мо­сти от за­дач, к этим по­лям мо­гут до­бав­лять­ся по­ля дру­гих фи­зи­че­ских ве­ли­чин (кон­цен­тра­ция, тем­пе­ра­ту­ра и др.) Ес­ли плот­ность сплош­ной сре­ды по­сту­ли­ру­ет­ся рав­ной кон­стан­те, то та­кая сплош­ная сре­да на­зы­ва­ет­ся не­сжи­ма­е­мой. Од­на­ко с точ­ки зре­ния ма­те­ма­ти­че­ской стро­го­сти сле­ду­ет пом­нить об од­ной не­точ­но­сти: все ре­аль­ные си­сте­мы об­ла­да­ют пусть боль­шим, но ко­неч­ным чис­лом сте­пе­ней сво­бо­ды (на­при­мер, со­сто­ят из ато­мов). Сплош­ная же сре­да об­ла­да­ет не про­сто бес­ко­неч­ным, а не­счет­ным чис­лом сте­пе­ней сво­бо­ды.

Для при­ме­не­ния урав­не­ния Нью­то­на к дви­же­нию сплош­ной сре­ды сле­до­ва­ло пе­рей­ти к опи­са­нию те­че­ния в фик­си­ро­ван­ной точ­ке про­стран­ства, то есть от­не­сти мас­су и си­лу к еди­ни­це объ­ё­ма. Для это­го же по­тре­бо­ва­лось вве­сти суб­стан­цио­наль­ное уско­ре­ние:

\frac{d\vec{u}}{dt} = \frac{\partial\vec{u}}{\partial t} + \left(\vec{u},\nabla\right)\vec{u},
(2)

где \nabla — опе­ра­тор на­б­ла.

Смысл это­го вы­ра­же­ния в том, что уско­ре­ние жид­ко­сти в фик­си­ро­ван­ной точ­ке про­стран­ства рав­но сум­ме уско­ре­ния ча­стиц жид­ко­сти и из­ме­не­ний ско­ро­сти, при­но­си­мых те­че­ни­ем из со­сед­них об­ла­стей. Жид­кость те­чёт, и под дей­стви­ем сво­е­го те­че­ния пе­ре­но­сит всё, что в ней на­хо­дит­ся, в том чис­ле и ско­рость сво­е­го те­че­ния. Это труд­но по­нять, но ещё труд­нее бы­ло к это­му прий­ти.

На­ко­нец, пе­ре­ход от от­дель­ных тел к кон­ти­ну­у­му по­тре­бо­вал вме­сто со­сре­до­то­чен­ной в точ­ке си­лы вве­де­ния нор­маль­но­го на­пря­же­ния — дав­ле­ния p. В от­ли­чие от нью­то­но­вой ме­ха­ни­ки ока­за­лось, что на­пря­же­ния не за­да­ны апри­о­ри, а са­мо­воз­ни­ка­ют вслед­ствие дви­же­ния жид­ко­сти.

Эй­лер вы­пол­нил пе­ре­ход к кон­ти­ну­у­му. Вы­ве­ден­ные им в 1755 го­ду урав­не­ния дви­же­ния сплош­ной сре­ды, не по­те­ряв­шие ак­ту­аль­ность и в на­ше вре­мя, так и на­зы­ва­ют­ся — эй­ле­ро­вы­ми:

\left\{\begin{array}{ll}
\displaystyle\rho\frac{d\vec{u}}{dt} = -\nabla p;\\
\rule{0pt}{1.2em}\nabla\vec{u} = 0.
\end{array}\right.
(3)

Здесь \rho — плот­ность жид­ко­сти. Эти урав­не­ния опи­сы­ва­ют те­че­ние не­вяз­кой не­сжи­ма­е­мой жид­ко­сти. Та­кую мо­дель иде­аль­ной сплош­ной сре­ды фон Ней­ман об­раз­но и ост­ро­ум­но на­звал «мо­де­лью су­хой во­ды». Она яви­лась пер­вой па­ра­диг­мой гид­ро­ди­на­ми­ки.

Да­лам­бер Жан Ле­рон

Да­лам­бер Жан Ле­рон (Jean Le Rond d'Alembert; 1717–​1783) — фран­цуз­ский про­све­ти­тель, ма­те­ма­тик, фи­ло­соф. В 1754 г. из­бран во Фран­цуз­скую ака­де­мию. С 1751 г. вме­сте с Д. Дид­ро участ­во­вал в со­зда­нии «Эн­цик­ло­пе­дии» (1-й том вы­шел в 1751–​1752 гг.). Опи­ра­ясь на си­сте­му Ф. Бэко­на, клас­сифи­ци­ро­вал на­у­ки, по­ло­жив на­ча­ло со­вре­мен­но­му по­ня­тию «гу­ма­ни­тар­ные на­у­ки». В 1757 г. он по­ки­нул ре­дак­цию «Эн­цик­ло­пе­дии». В се­ре­ди­не 1760-х гг. Да­лам­бер был при­гла­шён рос­сий­ской им­пе­ра­три­цей Ека­те­ри­ной II в ка­че­стве вос­пи­та­те­ля на­след­ни­ка пре­сто­ла, но от­ка­зал­ся при­нять при­гла­ше­ние. По­дроб­нее

По­яс­ню смысл урав­не­ний Эй­ле­ра. Пер­вое урав­не­ние пред­став­ля­ет со­бой ни что иное, как за­кон Нью­то­на (1), вы­пи­сан­ный для «ку­соч­ка жид­ко­сти». \rho пред­став­ля­ет со­бой мас­су это­го ку­соч­ка, d\vec{u}/dt — его уско­ре­ние (см. фор­му­лу (2)). В пра­вой ча­сти стои́т си­ла, вы­зы­ва­е­мая дав­ле­ни­ем (точ­нее — гра­ди­ен­том дав­ле­ния). Ос­нов­ное от­ли­чие от вто­ро­го за­ко­на Нью­то­на здесь в том, что урав­не­ние опи­сы­ва­ет не толь­ко из­ме­не­ние ско­ро­сти под дей­стви­ем си­лы (дав­ле­ния), но и из­ме­не­ние си­лы (дав­ле­ния) под дей­стви­ем ско­ро­сти: ле­вая и пра­вая ча­сти здесь рав­но­прав­ны. Вто­рое урав­не­ние го­во­рит о по­сто­ян­стве объ­ё­ма «ку­соч­ка жид­ко­сти»: он мо­жет ме­нять свою фор­му, но не мо­жет ме­нять объ­ём; жид­кость не­сжи­ма­е­ма.

Как уже бы­ло ска­за­но, мо­дель «су­хой во­ды» не учи­ты­ва­ет вяз­кость и сжи­ма­е­мость жид­ко­сти. Но ос­нов­ная пре­гра­да, пре­пят­ство­вав­шая её при­ме­не­нию для ши­ро­ко­го кру­га при­клад­ных за­дач, — от­сут­ствие гра­ниц у жид­ко­сти. По­доб­но элек­тро­маг­нит­но­му по­лю те­че­ние за­ни­ма­ет всё про­стран­ство. Гер­ман фон Гельм­гольц (1821–​1894), пы­та­ясь при­ме­нить эй­ле­ро­вы урав­не­ния ко всё той же за­да­че об ис­те­че­нии жид­ко­сти из со­су­да, в 1858 го­ду пред­ло­жил прин­ци­пи­аль­но но­вую схе­му — ис­те­че­ние с от­хо­дя­щи­ми от кра­ёв от­вер­стия раз­ры­ва­ми (гра­ни­ца­ми во­да-​воз­дух). Его схе­ма на­хо­ди­лась в ви­зу­аль­ном со­гла­сии с ис­те­че­ни­ем во­ды из кра­на вплоть до мо­мен­та тур­бу­ли­за­ции и кап­ледроб­ле­ния струи.

Вве­дя по­верх­но­сти раз­ры­ва, Гельм­гольц сде­лал ре­шаю­щий шаг в при­бли­же­нии мо­де­ли иде­аль­ной жид­ко­сти к дей­стви­тель­но­сти. У не­го та­кой по­верх­но­стью бы­ла сво­бод­ная гра­ни­ца, но впо­след­ствии в ка­че­стве по­верх­но­стей раз­ры­вов в гид­ро­ди­на­ми­ке ис­поль­зо­ва­лись вих­ре­вые пе­ле­ны, кон­такт­ные раз­ры­вы и да­же так на­зы­вае­мые силь­ные раз­ры­вы. Вви­ду это­го кон­цеп­ция ку­соч­но-​раз­рыв­но­го те­че­ния иде­аль­ной жид­ко­сти, вы­дви­ну­тая Гельм­голь­цем, су­ще­ствен­но рас­ши­ря­ет мо­дель Эй­ле­ра. Спра­вед­ли­во­сти ра­ди, сле­ду­ет на­пом­нить, что о воз­мож­но­сти су­ще­ство­ва­ния раз­рыв­ных ре­ше­ний впер­вые упо­мя­нул Нью­тон в На­ча­лах, но его рас­суж­де­ния бы­ли оши­боч­ны.

В рам­ках этой па­ра­диг­мы уда­лось раз­ра­бо­тать тео­рию волн на во­де, как в ли­ней­ном, так и в не­ли­ней­ном при­бли­же­ни­ях (Сто­кер, Уи­зем, Лайт­хилл). Ис­то­рия от­кры­тия со­ли­то­на С. Рас­се­лом, Н. Кру­с­ка­лом и М.Д. За­бу­с­ки во­шла во все учеб­ни­ки по не­ли­ней­ной ме­ха­ни­ке.

Лео­нард Эй­лер

Лео­нард Эй­лер (Leonhard Euler 1707–​1783) — вы­даю­щий­ся швей­цар­ский ма­те­ма­тик, внёс­ший зна­чи­тель­ный вклад в раз­ви­тие ма­те­ма­ти­ки, а так­же ме­ха­ни­ки, фи­зи­ки, аст­ро­но­мии и ря­да при­клад­ных на­ук. Эй­лер — ав­тор свы­ше 800 ра­бот по ма­те­ма­ти­че­ско­му ана­ли­зу, диф­фе­рен­ци­аль­ной гео­мет­рии, тео­рии чи­сел, при­бли­жён­ным вы­чис­ле­ни­ям, не­бес­ной ме­ха­ни­ке, ма­те­ма­ти­че­ской фи­зи­ке, оп­ти­ке, бал­ли­сти­ке, ко­раб­ле­строе­нию, тео­рии му­зы­ки и др., ока­зав­ших зна­чи­тель­ное влия­ние на раз­ви­тие на­у­ки. В 1726 г. был при­гла­шён ра­бо­тать в Санкт-​Пе­тер­бург, в 1727 г. пе­ре­ехал жить в Рос­сию. В 1731–​1741 гг. и на­чи­ная с 1766 г. был ака­де­ми­ком Пе­тер­бург­ской Ака­де­мии На­ук (в 1741–​1766 гг. ра­бо­тал в Бер­ли­не). По­дроб­нее

Дру­гую ветвь раз­ви­тия эй­ле­ро­вой мо­де­ли со­ста­ви­ла ди­на­ми­ка иде­аль­но­го (не­вяз­ко­го и не­теп­ло­про­вод­но­го) га­за. От­ли­чи­тель­ная осо­бен­ность этой тео­рии — не­по­сто­ян­ство плот­но­сти га­за во вре­ме­ни и в про­стран­стве. С уче­том это­го фак­та урав­не­ния (3) при­мут вид:

\left\{\begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{d\left(\rho\vec{u}\right)}{dt} = -\nabla p;\\
\rule{0pt}{1.6em}\displaystyle\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\left(\rho\vec{u}\right) = 0.
\end{array}\right.
(4)

По­сколь­ку чис­ло не­за­ви­си­мых пе­ре­мен­ных уве­ли­чи­лось на 1 (до­ба­ви­лась плот­ность), для за­мы­ка­ния си­сте­мы урав­не­ний Эй­ле­ра тре­бу­ет­ся ещё од­но урав­не­ние, в ка­че­стве ко­то­ро­го обыч­но вы­сту­па­ет урав­не­ние со­стоя­ния (обыч­но эм­пи­ри­че­ское), свя­зы­ваю­щее плот­ность, дав­ле­ние и дру­гие ха­рак­те­ри­сти­ки га­за. На­при­мер, урав­не­ние Кла­пей­ро­на–​Мен­де­ле­е­ва:

p = \frac{\rho}{\mu}RT,
(5)

где \mu — мо­ляр­ная мас­са, T — тем­пе­ра­ту­ра, R — уни­вер­саль­ная га­зо­вая по­сто­ян­ная.

Ис­то­рия га­зо­вой ме­ха­ни­ки из­ло­же­на Я.Б. Зель­до­ви­чем. Удар­ную вол­ну от­крыл «на кон­чи­ке пе­ра» Б. Ри­ман в 1876 го­ду. Од­на­ко ги­по­те­зу о су­ще­ство­ва­нии удар­ной вол­ны за­дол­го до не­го, в 1848 го­ду, вы­ска­зал Стокс, но от­ка­зал­ся от нее под влия­ни­ем кри­ти­ки В. Том­со­на и сво­е­го уче­ни­ка лор­да Рэ­лея.

Ди­на­ми­ка вяз­кой жид­ко­сти.
Урав­не­ния На­вье–​Сток­са

Од­ни­ми из ос­нов­ных эле­мен­тов те­че­ния жид­ко­сти яв­ля­ют­ся вих­ри, воз­ни­каю­щие вслед­ствие не­ли­ней­но­сти про­цес­сов дви­же­ния. В ди­на­ми­ке вих­рей раз­ли­чи­мы — но не раз­де­ли­мы — три про­цес­са: рож­де­ние, эво­лю­ция и диф­фу­зия. Мо­дель иде­аль­ной жид­ко­сти (су­хой во­ды) опи­сы­ва­ет эво­лю­цию, ино­гда — рож­де­ние, но ни­ко­гда — диф­фу­зию вих­рей.

Ес­ли бы су­хая во­да су­ще­ство­ва­ла, то, на­лив в ста­кан, мы не смог­ли бы раз­ме­шать её лож­кой. Та­кую во­ду не­воз­мож­но рас­кру­тить: её слои не трут­ся друг о дру­га. При дви­же­нии лож­ки во­да бу­дет рас­хо­дить­ся впе­ре­ди и смы­кать­ся за лож­кой. Да­же вра­щаю­щая­ся пе­ре­го­род­ка, за­ни­маю­щая весь ста­кан от края до края, не со­здаст вра­ще­ние, а лишь бу­дет дви­гать во­ду из сто­ро­ны в сто­ро­ну. И на­обо­рот: вихрь, од­на­ж­ды со­здан­ный в та­кой во­де, бу­дет су­ще­ство­вать веч­но. Его мож­но де­фор­ми­ро­вать, раз­де­лить, но нель­зя оста­но­вить.

Тео­рия про­точ­ной во­ды бы­ла очень про­дви­ну­та ис­сле­до­ва­ни­я­ми фран­цуз­ско­го ин­же­не­ра Гас­па­ра Ри­ше де Про­ни (Gaspard Riche de Prony; 1755–​1839). Он вы­брал 82 экс­пе­ри­мен­та со ско­ро­стью во­ды в тру­бах и от­кры­тых ка­на­лах из со­бра­ния луч­ших экс­пе­ри­мен­тов преды­ду­щих ис­сле­до­ва­те­лей. Об­суж­дая их на фи­зи­че­ских и ме­ха­ни­че­ских прин­ци­пах, он пре­успел в том, что со­ста­вил об­щие фор­му­лы, ко­то­рые предо­став­ля­ли про­стое вы­ра­же­ние для ско­ро­сти про­точ­ной во­ды. По­дроб­нее

Для по­ни­ма­ния про­цес­сов рож­де­ния и дис­си­па­ции вих­рей, а так­же про­цес­сов вза­и­мо­дей­ствия (тре­ния) жид­ко­сти со стен­ка­ми со­су­да, по­на­до­би­лось пе­рей­ти к бо­лее слож­ной мо­де­ли — мо­де­ли «мок­рой во­ды», учи­ты­ваю­щей влия­ние вяз­ко­сти жид­ко­сти [3]:

Вяз­кость — внут­рен­нее тре­ние, свой­ство те­ку­чих тел (жид­ко­стей и га­зов) ока­зы­вать со­про­тив­ле­ние пе­ре­ме­ще­нию од­ной их ча­сти от­но­си­тель­но дру­гой.

Ес­ли па­ра­диг­ма Эй­ле­ра стро­и­лась на спе­ку­ля­тив­ной ос­но­ве, ис­хо­дя из ос­нов­ных прин­ци­пов и по­ня­тий ме­ха­ни­ки, то для по­строе­ния но­вой па­ра­диг­мы по­тре­бо­ва­лись не­ко­то­рые апри­о­ри не­из­ве­ст­ные ха­рак­те­ри­сти­ки свойств рас­смат­ри­ва­е­мой сплош­ной сре­ды: в дан­ном слу­чае — вяз­ко­сти, а в об­щем слу­чае — теп­ло­про­вод­но­сти, сжи­ма­е­мо­сти, вто­рой вяз­ко­сти и так да­лее.

В гид­ро­ди­на­ми­ке име­ют­ся три точ­ных за­ко­на со­хра­не­ния: мас­сы, им­пуль­са и энер­гии. На ос­но­ве этих за­ко­нов (пер­вых прин­ци­пов фи­зи­ки) вы­во­дят­ся урав­не­ния дви­же­ния.

На­вье Луи Ма­ри Ан­ри

Ан­ри На­вье (Claude Louis Marie Henri Navier; 1785–​1836), фран­цуз­ский ин­же­нер и учё­ный, член фран­цуз­ской АН (1824 г.). Про­фес­сор Шко­лы мо­стов и до­рог (с 1820 г.) и По­ли­тех­ни­че­ской шко­лы (с 1831 г.). Из­ве­с­тен ра­бо­та­ми в об­ла­сти стро­и­тель­ной ме­ха­ни­ки, со­про­тив­ле­ния ма­те­ри­а­лов и тео­рии упру­го­сти, а так­же гид­рав­ли­ки и гид­ро­ме­ха­ни­ки. На­вье впер­вые сде­лал вы­вод урав­не­ния изо­гну­той оси пря­мо­го и кри­во­го брусьев при из­ги­бе, ис­сле­до­вал из­гиб пря­мо­уголь­ной пла­стин­ки, дал об­щие урав­не­ния рав­но­ве­сия и дви­же­ния упру­го­го те­ла, раз­ра­бо­тал ме­тод ана­ли­ти­че­ско­го рас­чё­та ви­ся­чих мо­стов, вы­вел урав­не­ния дви­же­ния не­сжи­ма­е­мой вяз­кой жид­ко­сти (урав­не­ния На­вье–​Сток­са). Ав­тор ря­да учеб­ни­ков по ме­ха­ни­ке, а так­же кур­са со­про­тив­ле­ния ма­те­ри­а­лов, яв­ляв­ше­го­ся в те­че­ние не­сколь­ких де­ся­ти­ле­тий ос­нов­ным ру­ко­вод­ством для ин­же­не­ров-​стро­и­те­лей и ма­ши­но­стро­и­те­лей. По­дроб­нее

Осталь­ные за­ко­ны — при­бли­жен­ные, эм­пи­ри­че­ские. К ним от­но­сят­ся так на­зы­вае­мые за­ко­ны со­стоя­ния, опре­де­ляю­щие за­ви­си­мость ко­эф­фи­ци­ен­тов пе­ре­но­са от мак­ро­ско­пи­че­ских па­ра­мет­ров: за­ко­ны Кла­пей­ро­на, Фи­ка, Нью­то­на, Дар­си и дру­гие. Эти за­ко­ны со­стоя­ния по­лу­ча­ют­ся в рам­ках ки­не­ти­че­ской тео­рии при изу­че­нии ст­рук­ту­ры сре­ды в мас­шта­бе, мень­шем по по­ряд­ку ве­ли­чи­ны, чем гид­ро­ди­на­ми­че­ский мас­штаб. Го­во­ря дру­ги­ми сло­ва­ми, осред­ня­ют­ся про­ис­хо­дя­щие в сре­де внут­рен­ние фи­зи­ко-​хи­ми­че­ские про­цес­сы по ма­лым (атом­но-​мо­ле­ку­ляр­ным) мас­шта­бам.

Впер­вые урав­не­ния дви­же­ния вяз­кой жид­ко­сти вы­пи­сал фран­цуз­ский учё­ный и ин­же­нер Ан­ри На­вье (1785–​1836). Для это­го по­тре­бо­ва­лось вве­сти тен­зор на­пря­же­ний, то есть учесть не толь­ко нор­маль­ные си­лы (дав­ле­ние), но и ка­са­тель­ные си­лы. В пра­вую часть урав­не­ния (3) На­вье ввёл до­пол­ни­тель­ный член, от­вет­ствен­ный за про­яв­ле­ние вяз­ко­сти. Жид­кость, на­пря­же­ния в ко­то­рой ли­ней­но про­пор­цио­наль­ны де­фор­ма­ции, на­зы­ва­ет­ся нью­то­но­вой, по­то­му что впер­вые та­кая ги­по­те­за бы­ла вы­дви­ну­та Нью­то­ном [2]:

Со­про­тив­ле­ние, про­ис­хо­дя­щее от не­до­стат­ка ско­ль­з­ко­сти жид­ко­сти, при про­чих рав­ных усло­ви­ях пред­по­ла­га­ет­ся про­пор­цио­наль­ным ско­ро­сти, с ко­то­рою ча­сти­цы жид­ко­сти разъ­еди­ня­ют­ся друг с дру­гом.

Се­год­ня мы зна­ем, как по­ни­мать его рас­плыв­ча­тое вы­ра­же­ние «ско­ро­сти, с ко­то­рой…». Это — по­пе­реч­ный гра­ди­ент ско­ро­сти жид­ко­сти. Од­на­ко в кон­крет­ной за­да­че о кру­го­вом дви­же­нии Нью­тон вы­во­дит оши­боч­ное усло­вие для тре­ния, на что спу­стя 158 лет по­сле вы­хо­да его Нача́л ука­зал Джордж Стокс (1819–​1903).

Для нью­то­но­вой жид­ко­сти урав­не­ния со­хра­ни­ли век­тор­ную фор­му:

\left\{\begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{d\vec{u}}{dt} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \mu\nabla^2\vec{u};\\
\rule{0pt}{1.2em}\nabla\vec{u} = 0.
\end{array}\right.
(6)

Здесь \mu — ко­эф­фи­ци­ент ки­не­ма­ти­че­ской вяз­ко­сти.

Боль­шой вклад в ис­сле­до­ва­ние это­го урав­не­ния внёс все тот же Стокс. По­это­му урав­не­ния (6), а так­же их обоб­ще­ния на слу­чай дви­же­ния жид­ко­стей с дру­ги­ми свой­ства­ми на­зы­ва­ют­ся урав­не­ни­я­ми На­вье–​Сток­са. Урав­не­ния Эй­ле­ра — ча­ст­ный слу­чай урав­не­ний На­вье–​Сток­са при \mu=0.

Для за­вер­ше­ния ма­те­ма­ти­че­ской мо­де­ли те­че­ния вяз­кой жид­ко­сти не­до­ста­ва­ло гра­нич­ных усло­вий на по­верх­но­сти кон­так­та жид­ко­сти с твёр­дым те­лом (для су­хой во­ды это бы­ло про­сто: она ско­ль­зи­ла по всем по­верх­но­стям). Та­кой кон­такт (жид­кость — твёр­дое те­ло или газ — твёр­дое те­ло) про­ис­хо­дит в тон­ком при­сте­ноч­ном слое, где сле­ду­ет учи­ты­вать ше­ро­хо­ва­тость и атом­но-​мо­ле­ку­ляр­ную ст­рук­ту­ру сред. Уже Д. Бер­нул­ли в 1738 го­ду осо­зна­вал, что жид­кость не мо­жет ско­ль­зить по по­верх­но­сти твёр­до­го те­ла [2]:

Джордж Га­б­ри­ель Стокс

Джордж Га­б­ри­ель Стокс (Sir George Gabriel Stokes; 1819–​1903), ан­глий­ский ма­те­ма­тик и фи­зик ир­ланд­ско­го про­ис­хож­де­ния, член Лон­дон­ско­го ко­ро­лев­ско­го об­ще­ства (1851 г.), в 1854–​1885 гг. его сек­ре­тарь, в 1885–​1890 гг. — пре­зи­дент. Окон­чив в 1841 г. Кем­бридж­ский уни­вер­си­тет, Стокс на­чал пре­по­да­вать там же и в 1849 г. воз­гла­вил «лю­ка­сов­скую» ка­фед­ру, ко­то­рую в своё вре­мя за­ни­мал И. Нью­тон. Член пар­ла­мен­та от уни­вер­си­те­та (1887–​1892 гг.). В 1889 г. по­лу­чил за на­уч­ные тру­ды ти­тул ба­ро­не­та. Мно­гие ис­сле­до­ва­ния Сток­са свя­за­ны с изу­че­ни­ем вол­но­вых про­цес­сов в раз­лич­ных сре­дах. В 1842–​1851 гг. изу­чал ста­ци­о­нар­ное дви­же­ние не­сжи­ма­е­мой жид­ко­сти с учё­том тре­ния и дви­же­ние твёр­до­го ша­ра в вяз­кой жид­ко­сти; эти ра­бо­ты Сток­са име­ют фун­да­мен­таль­ное зна­че­ние в гид­ро­ди­на­ми­ке. В 1852 г. опи­сал яв­ле­ние флу­о­рес­цен­ции, уста­но­вил за­ви­си­мость её спек­тра от спек­тра воз­буж­даю­ще­го све­та (пра­ви­ло Сток­са) и пред­ло­жил ме­тод ис­сле­до­ва­ния уль­тра­фи­о­ле­то­вой об­ла­сти спек­тра с по­мо­щью лю­ми­нес­цен­ции. Из­ве­ст­ны так­же ра­бо­ты Сток­са по аку­сти­ке, теп­ло­про­вод­но­сти в кри­стал­лах, гра­ви­та­ции и т. д. В об­ла­сти ма­те­ма­ти­ки Сток­су при­над­ле­жат ра­бо­ты по век­тор­но­му ана­ли­зу (фор­му­ла Сток­са), тео­рии ря­дов и опре­де­лён­ных ин­тег­ра­лов и др. По­дроб­нее

Наблю­да­ют­ся огром­ные раз­ли­чия, глав­ным об­ра­зом, в ча­сти при­ли­па­ния во­ды к стен­кам тру­бы; это при­ли­па­ние за­ве­до­мо мо­жет в не­ко­то­рых слу­ча­ях вы­зы­вать не­ве­ро­ят­ные эф­фек­ты.

Фран­цуз Жи­рар в 1813 го­ду счи­тал, что вбли­зи кон­такт­ной по­верх­но­сти име­ет­ся весь­ма тон­кий слой по­ко­я­щей­ся от­но­си­тель­но те­ла жид­ко­сти.

Вто­рая ги­по­те­за при­над­ле­жа­ла На­вье. На ос­но­ва­нии тех же услож­нён­ных мо­ле­ку­ляр­ных пред­по­ло­же­ний, ко­то­рые при­ве­ли его к вы­во­ду урав­не­ний дви­же­ния вяз­кой жид­ко­сти, он уста­но­вил, что на твёр­дой по­верх­но­сти име­ет ме­сто про­скаль­зы­ва­ние жид­ко­сти, при­чём ско­рость про­скаль­зы­ва­ния \vec{u}_0 про­пор­цио­наль­на на­пря­же­нию тре­ния, то есть \vec{u}_0=\lambda\cdot\partial\vec{u}/\partial\vec{n}, где по­сто­ян­ная \lambda име­ет раз­мер­ность дли­ны, а диф­фе­рен­ци­ро­ва­ние про­во­дит­ся по на­прав­ле­нию внеш­ней нор­ма­ли к твёр­дой по­верх­но­сти.

На­ко­нец, тре­тью ги­по­те­зу о при­ли­па­нии жид­ко­сти к твёр­дой по­верх­но­сти пер­вым, по-ви­ди­мо­му, вы­дви­нул Ку­лон в 1800 го­ду. В ре­зуль­та­те мно­го­чис­лен­ных опы­тов, а так­же ана­ли­за, про­де­лан­но­го Сток­сом в 1851 го­ду и Макс­вел­лом в 1879 го­ду, бы­ло уста­нов­ле­но, что усло­вие при­ли­па­ния спра­вед­ли­во, ес­ли сре­да не раз­ре­же­на. Вхо­дя­щая в усло­вие На­вье по­сто­ян­ная \lambda по по­ряд­ку ве­ли­чи­ны рав­на дли­не сво­бод­но­го про­бе­га мо­ле­кул га­за. Гид­ро­ди­на­ми­ка не рас­смат­ри­ва­ет яв­ле­ния, про­ис­хо­дя­щие на та­ких ма­лых мас­шта­бах.

В пол­ном ви­де урав­не­ния На­вье–​Сток­са ока­за­лись слиш­ком слож­ны­ми для ре­ше­ния, осо­бен­но в до­ком­пью­тер­ную эпо­ху.

Ре­ши­тель­ное про­дви­же­ние впе­рёд сде­лал Лю­двиг Прандтль (1875–​1953) в 1905 го­ду, пред­ло­жив­ший асимп­то­ти­че­скую кон­цеп­цию по­гра­нич­но­го слоя. В со­от­вет­ствии с этой кон­цеп­ци­ей при ма­лой вяз­ко­сти об­ласть те­че­ния жид­ко­сти мож­но раз­де­лить на две ча­сти: внут­рен­нюю об­ласть, в ко­то­рой вяз­ко­стью мож­но пре­не­бречь, и тон­кую при­гра­нич­ную об­ласть (по­гра­нич­ный слой), в ко­то­рой жид­кость те­чёт па­ра­л­лель­но гра­ни­цам, а ско­рость жид­ко­сти па­да­ет до ну­ля по ме­ре при­бли­же­ния к краю об­ла­сти. На дне по­гра­нич­но­го слоя вы­пол­ня­ет­ся усло­вие при­ли­па­ния, а на его внеш­ней гра­ни­це ре­ше­ние сра­щи­ва­ет­ся с не­вяз­ким внут­рен­ним пре­де­лом. Кро­ме то­го, дав­ле­ние в по­гра­нич­ном слое ока­зы­ва­ет­ся из­ве­ст­ным и рав­ным дав­ле­нию во внеш­нем по­то­ке. Этот факт сни­жа­ет на 1 чис­ло не­из­ве­ст­ных функ­ций, а зна­чит, и чис­ло урав­не­ний. Сам Прандтль глав­ную идею вы­ра­зил та­ки­ми сло­ва­ми [2]:

По­ток раз­де­ля­ет­ся на две ча­сти, вза­и­мо­дей­ствую­щие друг с дру­гом; с од­ной сто­ро­ны, мы име­ем «сво­бод­ный по­ток», ко­то­рый мож­но рас­смат­ри­вать как не имею­щий тре­ния, со­глас­но тео­ре­мам Гельм­голь­ца о вих­рях, и, с дру­гой сто­ро­ны, по­гра­нич­ные слои око­ло твёр­дых сте­нок. Дви­же­ние этих сло­ёв ре­гу­ли­ру­ет­ся сво­бод­ной жид­ко­стью, но эти слои при­да­ют, в свою оче­редь, сво­бод­ной жид­ко­сти её ос­нов­ные свой­ства пу­тём вы­де­ле­ния вих­ре­вых по­верх­но­стей.

О на­ли­чии при­сте­ноч­но­го по­гра­нич­но­го слоя бы­ло из­вест­но за­дол­го до Прандт­ля. По­это­му не Прандтль от­крыл по­гра­нич­ный слой. Но он сде­лал боль­шее, по­ка­зав, что по­ня­тие по­гра­нич­но­го слоя — асимп­то­ти­че­ское, что раз­ло­же­ние в по­гра­нич­ном слое сра­щи­ва­ет­ся с внеш­ним ре­ше­ни­ем. Кон­цеп­ция Прандт­ля, су­ще­ствен­но упро­щаю­щая мо­дель вяз­кой жид­ко­сти, от­кры­ла путь к ре­ше­нию при­клад­ных за­дач. Прандтль со­здал мощ­ную на­уч­ную шко­лу: Ж. Ак­ке­рет, А. Бетц, А. Бу­зе­ман, М. Мунк, В. Тол­мин, И.И. Ни­ку­рад­зе, Х. Шлих­тинг и дру­гие.

47 отзывов на «историю гидродинамики»

Огром­ное спа­си­бо за «Ис­то­рию гид­ро­ди­на­ми­ки». Моя дочь Ва­ше­го воз­рас­та в обо­зри­мом бу­ду­щем за­щи­ща­ет кан­ди­дат­скую по од­ной из тем тур­бу­лент­но­сти, а моя ин­же­нер­ная спе­ци­аль­ность от это­го да­ле­ка. Те­перь мне бу­дет лег­че най­ти об­щий язык с до­че­рью. Бле­стя­щая ста­тья, гид­ро­ди­на­ми­кой за­ин­те­ре­со­ва­ли!
Ан­тон, ве­ли­ко­леп­ный сайт. Не­дав­но на­чал тес­но за­ни­мать­ся с CFD-ком­плек­са­ми и ма­те­ма­ти­че­ским и ин­же­нер­ным ана­ли­зом слож­ных рас­че­тов — на ваш сайт на­ткнул­ся в по­ис­ке ин­фор­ма­ции для ре­фе­ра­та по ис­то­рии на­у­ки для ас­пи­ран­ту­ры — очень по­нра­ви­лась ста­тья ва­ша по гид­ро­ди­на­ми­ке, хо­чу ис­поль­зо­вать ее в сво­ей ра­бо­те — в спис­ке ис­точ­ни­ков пре­не­пре­мен­но ука­жу ваш сайт
Ста­тья по ис­то­рии гид­ро­ди­на­ми­ки — это и есть мой ре­фе­рат по ис­то­рии на­у­ки для ас­пи­ран­ту­ры. Вот та­кие сов­па­де­ния.
Ре­фе­рат по ис­то­рии на­у­ки для ас­пи­ран­ту­ры — ак­ту­аль­ная те­ма! Ан­тон, ес­ли Вы не воз­ра­жа­е­те, я то­же вос­поль­зу­юсь Ва­шим гра­мот­но обоб­щен­ным ма­те­ри­а­лом и то­же пре­не­пре­мен­но ука­жу сайт в спис­ке ис­точ­ни­ков. Рад ви­деть лю­дей с близ­ки­ми ин­те­ре­са­ми!
Мне то­же для ре­фе­ра­та для ас­пи­ран­ту­ры на кан­ди­дат­ский нуж­на ис­то­рия гид­ро­ди­на­ми­ки! Класс­но, спа­си­бо за ин­фор­ма­цию… Нас по­том всех не по­прут из ас­пи­ран­ту­ры за оди­на­ко­вые ре­фе­ра­ты?
Те­перь нас уже трое — то­же ре­фе­рат, то­же кан­ди­дат­ский!
Огра­ни­че­ние, что жид­кость не­сжи­ма­е­ма , от­бра­сы­ва­ет на­ли­чие в жид­ко­сти энер­гии сжа­тия (ко­эф­фи­ци­ент сжи­ма­е­мо­сти = 0) .
Но жид­кость про­дол­жа­ет иметь те­ку­честь (из­ме­ня­ет фор­му не из­ме­няя объ­ем) и про­дол­жа­ет течь по тру­бам .
При ис­те­че­нии жид­ко­сти че­рез от­вер­стие из со­су­да Тор­ри­чел­ли фи­зи­ки мо­гут наблю­дать не­пре­рыв­ное пре­об­ра­зо­ва­ние по­тен­ци­аль­ной энер­гии на­коп­лен­ной жид­ко­стью в со­су­де в по­ле си­лы тя­го­те­ния Зем­ли в ки­не­ти­че­скую ( то есть энер­гию дви­же­ния) .
По­сколь­ку жид­кость не­сжи­ма­е­ма , то при­об­ре­та­е­мая жид­ко­стью ки­не­ти­че­ская энер­гия мо­жет быть объ­яс­не­на толь­ко на ос­но­ве ди­на­ми­ки твер­до­го те­ла .
А имен­но всем из­вест­но­го вто­ро­го за­ко­на Нью­то­на.
Его фун­да­мент – из­ме­не­ние ско­ро­сти те­ла мас­сой М под дей­стви­ем си­лы
(то есть влия­ния на не­го дру­го­го те­ла).
У нас это влия­ние вы­ра­же­но в ви­де воз­дей­ствия од­ной ча­сти жид­ко­сти (од­но­го те­ла) на дру­гую ее часть (дру­гое те­ло) .
При вы­тал­ки­ва­нии ча­сти жид­ко­сти из со­су­да (пред­став­ля­ем се­бе твер­дое те­ло) , она за ко­неч­ное вре­мя при­об­ре­та­ет ко­неч­ную ско­рость дви­же­ния .
А зна­чит и ко­неч­ное воз­дей­ствие со сто­ро­ны жид­ко­сти на­хо­дя­щей­ся в со­су­де (ина­че бы ско­рость по­сто­ян­но уве­ли­чи­ва­лась, что про­ти­во­ре­чит тео­ре­ме Тор­ри­чел­ли ).
Та­ким об­ра­зом про­ис­хо­дит не толь­ко из­ме­не­ние ско­ро­сти под дей­стви­ем си­лы , но что не ме­нее важ­но — из­ме­не­ние си­лы воз­дей­ствия (от мак­си­маль­но­го зна­че­ния до ну­ле­во­го ) при из­ме­не­нии ско­ро­сти дви­же­ния вы­те­ка­е­мой из от­вер­стия жид­ко­сти.
А урав­не­ние Бер­нул­ли – след­ствие тео­ре­мы Тор­ри­чел­ли .
Нет со­су­да Тор­ри­чел­ли – не­при­ме­ни­мо урав­не­ние Бер­нул­ли .
Дви­же­ние сжа­той жид­ко­сти в за­мкну­той тру­бе раз­лич­ных се­че­ний не со­дер­жит со­су­да Тор­ри­чел­ли ( жид­кость име­ет ки­не­ти­че­скую энер­гию и энер­гию
сжа­тия ). Как при­ме­нить урав­не­ние Бер­нул­ли в этом слу­чае?
Ста­тья Ан­то­на по­зна­ва­тель­на. Спа­си­бо.
«Ис­то­рия га­зо­вой ме­ха­ни­ки из­ло­же­на Я.Б. Зель­до­ви­чем. Удар­ную вол­ну от­крыл «на кон­чи­ке пе­ра» Б. Ри­ман в 1876 го­ду. Од­на­ко ги­по­те­зу о су­ще­ство­ва­нии удар­ной вол­ны за­дол­го до не­го, в 1848 го­ду, вы­ска­зал Стокс, но от­ка­зал­ся от нее под влия­ни­ем кри­ти­ки В. Том­со­на и сво­е­го уче­ни­ка лор­да Рэ­лея.» Ри­ман ни­как не мог в 1876 го­ду от­крыть удар­ную вол­ну (он в 1866 го­ду умер). Это бы­ло 1860-м. Ис­правь­те, по­жа­луй­ста.
«Од­на­ко ги­по­те­зу о су­ще­ство­ва­нии удар­ной вол­ны за­дол­го до не­го, в 1848 го­ду, вы­ска­зал Стокс, но от­ка­зал­ся от нее под влия­ни­ем кри­ти­ки В. Том­со­на и сво­е­го уче­ни­ка лор­да Рэ­лея.» Здесь ошиб­ка пе­ре­во­да. В 1848 го­ду Стокс вы­ска­зал ги­по­те­зу о су­ще­ство­ва­нии удар­ной вол­ны, но от­ка­зал­ся от сво­ей ра­бо­ты. Од­на­ко Лорд Кель­вин и Лорд Рэ­лей поз­же убе­ди­ли его что он был всё же прав. Как то так. Ис­точ­ник http://www.potto.org/gasDynamics/node44.html
Ну ни­как в 1848 го­ду Рэ­лей ни­как не мог убе­дить Сток­са (Рэ­лею то­гда бы­ло 8 лет)…
Во мно­гих ме­стах ста­тья — пе­ре­сказ ан­гло­языч­ной «Ви­ки­пе­дии»: http://en.wikipedia.org/wiki/History_of_fluid_mechanics,
что вид­но уже из то­го, что Иоганн Бер­нул­ли (имен­но так при­ня­то в боль­шей ча­сти рус­ско­языч­ных ис­точ­ни­ков) на­зы­ва­ет­ся «Джо­ном Бер­нул­ли».
P.S. Не посмот­рел на вто­рую стра­ни­цу, где ав­тор чест­но рас­ска­зы­ва­ет об ис­точ­ни­ках. Про­шу про­ще­ния. Ссыл­ка на «Бри­тан­ни­ку» не ра­бо­та­ет, сайт за­крыл­ся. Спа­си­бо за ин­те­рес­ный сайт, с ин­те­ре­сом про­чи­тал дис­сер­та­цию ав­то­ра. Очень по­ра­до­ва­ли ав­то­ма­ти­че­ские пе­ре­но­сы и за­ме­ны ка­вы­чек на сай­те. Уда­чи.
Hello!
Hello!
Hello!
Hello!
9 carisoprodol price — soma cost without insurance — carisoprodol 350
Hello!
2 i want to buy ativan — ativan price per pill — cheap ativan
Hello!
Hello!
Hello!
Hello!
Hello!
Hello!
Hello!
Hello!
Hello!
Hello!
Hello!
Hello!
Hello!
Hello!
Hello!
Hello!
Hello!
Hello!
Hello!
Hello!
Hello!
Hello!
Hello!
Hello!
Hello!
Hello!
Hello!
Hello!
Hello!

Оставить отзыв

Жёлтые поля обязательны к заполнению

   

Можете использовать теги <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong> <pre lang=""> <div class=""> <span class=""> <br>